Byl synem významného pražského advokáta Jana Měchury a jeho manželky Marie, rozené Lankisch von Hörnitz (její otec byl bratrancem Jana Jeníka z Bratřic).[1] Přišel o matku, když mu bylo 6 let a kromě něj byli v rodině ještě tři mladší sourozenci. S hudbou se důvěrně seznámil již v rodině, která pořádala na svém panství v Otíně hudební večery. Další hudební vzdělání získal i během studia na piaristickém gymnáziu v Praze. Vystudoval filozofii a práva na Karlově univerzitě a vedle toho studoval i hudbu u Friedricha Dionysa Webera a Václava Jana Tomáška. Po studiích se vrátil do Klatov, kde pomáhal otci spravovat rodinné panství a pracoval jako magistrátní úředník. V roce 1827 se jeho sestra Terezie vdala za Františka Palackého a o rok později se sám oženil s Klárou Häcknerovou. Další sestra Antonie byla provdána za lesního odborníka a schwarzenberského vrchního lesmistra Jana Heyrovského,[2] strýce pozdějšího rektora Karlovy univerzity Leopolda Heyrovského.[3][4]
Byl vychováván ve dvojjazyčném prostředí a přátelil se jak s německými (např. básníkem Karlem Egonem Ebertem, či skladatelem Johannem Friedrichem Kittlem), tak i českými literáty a hudebníky. Své první skladby psal na německé texty, ale pod vlivem Františka Palackého a dalších českých přátel (především Jana Ludevíta Procházky a Aloise Vojtěcha Šmilovského) se stále více přikláněl na stranu českého obrozeneckého hnutí. První skladbou na český text je sbor Večer v lese op. 92 z roku 1865 na slova Aloise Vojtěcha Šmilovského. Jak svým dílem, tak i národnostním uvědoměním je považován za předchůdce Bedřicha Smetany.
Zemřel 11. února 1870 a byl pohřben v rodinné hrobce v Předslavi nedaleko Klatov.[5]
K nejvýznamnějším dílům patří kantáty na české texty z roku 1866. Štědrý den a První májová noc jsou komponovány na slova Karla Jaromíra Erbena a Pohřeb na Kaňku na text A. V. Šmilovského. Byly to první kantáty na české texty vůbec. Byly uvedeny 22. března1868 na koncertě Umělecké besedy na Žofíně a na provedení se prý podílelo na 220 zpěváků a 90 hudebníků.
Předehra a tři entreakty k živým obrazům pro truchlohru Karla Egona Eberta: Das Gelübde
Dvě orchestrální ouvertury
Řada tanců
Komorní skladby
15 smyčcových kvartetů (vznikaly mezi 1826–29);
4 kvarteta pro lesní rohy
4 smyčcová kvinteta
Klavírní septet (1830)
Lovecké kusy pro lesní roh
Klavírní skladby
Trios chansons sans paroles op. 58
Trois impromptu op. 105
Písně
11 písňových sešitů (Liederheft)
9 písňových cyklů
15 samostatných písní
dvojzpěv
10 čtyřzpěvů
Písně jsou vesměs komponovány na texty německých básníků (Gustav Theodor Drobisch, Heinrich Heine, Eduard Möricke, Ludwig Uhland), dvě písně napsal na vlastní text (rovněž německý). Českou výjimku tvoří:
Mirko Očadlík: Opery Leopolda Eugena Měchury, in: Sborník prací k narozeninám Zdeňka Nejedlého, Praha 1928
Alois Hnilička: Kontury vývoje hudby poklasické v Čechách, Praha 1935
Adolf Smolák: L. E. Miechura, Klatovy 1939
Mirko Očadlík: Svět orchestru II, Praha 1953
Josef Plavec: 150 let od narození L. E. Měchury, in: Hudební rozhledy 7, 1954, s. 116-117.
Jaroslav Procházka: Puškinova Bachčisarajská fontána jako česká obrozenecká opera, in: Příspěvky k dějinám česko-ruských kulturních styků I, Praha 1965
Leopold Eugen Měchura: Marie Potocká, publikace ke koncertantnímu uvedení opery na scéně Stavovského divadla, Národní divadlo Praha 2003
