Svou profesionální kariéru zahájil roku 1977 ve finské lize v týmu Jokerit Helsinky. Lední hokej je velmi oblíbený týmový sport ve Finsku a snem tisíce finských chlapců je hraní v NHL v Severní Americe. Nejlepší hokejovou ligu na světě měli jen američtí a kanadští hráči, ale v osmdesátých letech by v nejlepších týmech přítomnost Evropanů chyběla. Jarimu Kurrimu se úspěšně podařilo ´´odstěhovat´´. Titulky novin psaly o jeho vítězném gólu za Finsko, který padl ve finále Juniorského Mistrovství Evropy. V roce 1980 byl draftován jako číslo 69 týmem severoamerické NHLEdmonton Oilers a udělali ho ´čárovým kamarádem´ proslulého Wayna Gretzkyho. Wayne Gretzky a Kurri dokázali být nejlepší dvojkou v historii NHL a dominovali hrací scéně 8 let. Po většinu doby byli spojení s Esou Tikkanenem, dalším Finem. Kurri vyhrál s Waynem 4x Stanley cup a 5x poté, co Wayne odešel do jiného klubu. V klubu Edmonton Oilers odehrál Kurri celkem deset sezón, následovalo angažmá v Los Angeles Kings, New York Rangers, Anaheim Mighty Ducks a Colorado Avalanche.
Zaneprázdněný v NHL byl Kurri málo viděn ve finském národním týmu, ale byl přirozeným týmovým vůdcem, kdykoli hrál za svou zemi. S Kurrim Finsko získalo stříbro na Mistrovství světa 1994 a bronz na Zimních olympijských hrách v Naganu v roce 1998. Tento rok Kurri oznámil konec své kariéry.
V NHL Jari Kurri odehrál 1251 zápasů, nastřílel 601 gólů a na 797 přihrál. V roce 2001 byl jako vůbec první finský hráč uveden do prestižní hokejové Síně slávy. V roce 2002 byl Kurri zvolen za člena Komise sportovců Mezinárodního olympijského výboru.
V roce 2022 se stal generalním ředitelem a vlastníkem klubu Jokerit Helsinky.[2]
Osobní život
V roce 2004 se oženil s Vanessou Kurriovou, rozenou Forsmanovou. Spolu mají dvě dcery – Odessu (* 2002) a Alissu (* 2005) – a syna Pauluse (* 2007). Z prvního manželství s Tiinou Kurriovou má dvojčata (Joonas a Ville). Dětem z prvního manželství byl kmotrem bývalý spoluhráč Wayne Gretzky. Kurri se stal kmotrem hokejisty Samiho Lepistö.