Narodil se 4. prosince 1904 v Pelhřimově v rodině tesařského mistra. Nadání pro výtvarné umění měli všichni tři jeho sourozenci. Jeho bratr Stanislav, který zemřel mladý v roce 1934, byl grafikem. Druhý bratr František se zabýval malbou.
Jan v mládí pracoval nejprve u svého strýce v zemědělství, ale záhy následoval bratra Františka, tou dobou člena kočovné divadelní společnosti ředitele Türschela-Slavinského. Za pobytu společnosti v Tršicích poznal Jan místního kamenosochaře Čeňka Palíka. Na to opustil divadelní společnost a nastoupil do Palíkovy dílny, kde se po dvou letech vyučil kamenosochařem. Další rok získával Jan Tříska další zkušenosti u olomouckého sochaře Julia Pelikána.
Po skončení vojenské služby v roce 1926 se Jan přihlásil ke studiu na pražské Akademii výtvarných umění. Studoval sochařství a medailérství u prof. Otakara Španiela. Akademii ukončil v roce 1931. Následoval studijní pobyt v Paříži, který Jana Třísku nepochybně v jeho další tvorbě ovlivnil. Nakonec se Jan Tříska vrátil na Hanou, když v roce 1932 přišel za svou budoucí ženou do Prostějova, kde se usadil natrvalo.