Inverzní matice

Matice v součinu jsou navzájem inverzní, protože jsou čtvercové a výsledkem součinu je jednotková matice.
Související informace naleznete také v článku Regulární matice.

V matematice je inverzní matice,[1] reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici se značí .[2] Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.

Inverzní matice se používají v lineární algebře mimo jiné při řešení soustav lineárních rovnic a v některých rozkladech matic.

Výpočet inverzní matice se nazývá invertování nebo též inverze matice a lze jej provést pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace nebo pomocí adjungované matice. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky.

Definice

Je-li regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem (v praxi jde obvykle o těleso reálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice , pro kterou platí:

,

kde binární operací je maticový součin a symbol značí jednotkovou matici stejného řádu jako má matice . Je-li je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.

Ukázka

Inverzní matice k reálné matici řádu 2

je

,

protože platí:

Inverzní matice k diagonální matici s prvky na diagonále se získá pomocí převrácených hodnot diagonálních prvků, protože:

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu . Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:

Inverze k inverzní matici je opět původní matice:

Matice a se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:

Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:

pro . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:

Uvedená matice se obvykle značí .

Vlastnosti matic nad tělesy

Pro inverzní matici s prvky z tělesa platí navíc i následující vlastnosti:

  • Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem platí:
  • Plná hodnost (neboli regularita) matice se při inverzi zachovává:
  • Je vlastní číslo matice příslušné vlastnímu vektoru , pak je vlastní číslo inverzní matice a přísluší stejnému vlastnímu vektoru . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu .

Invarianty

Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:

Výpočet

V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.

Gaussova–Jordanova eliminace

Podrobnější informace naleznete v článku Gaussova–Jordanova eliminace.

Reprezentace rovnic

Hledaná inverzní matice je řešením maticové rovnice :

Výpočet -tého sloupce inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic , kde na pravé straně je -tý vektor přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců předpisem:

Postup

Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit soustav lineárních rovnic současně. K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů rozšíří o jednotkovou matici na blokovou matici:

Poté je matice převedena do horního trojúhelníkového tvaru pomocí elementárních řádkových úprav, přičemž jednotková matice je upravována též:

V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda má inverzní matici. Matice je invertibilní, právě když matice neobsahuje nulu na hlavní diagonále. V takovém případě lze matici nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:

,

kde na pravé straně je hledaná inverzní matice .

Ukázky

Inverzní matice k reálné matici

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace:

Nejprv je eliminována pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí . Inverzní maticí k je:

Inverzní matice k reálné matici

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven , proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:

.

Získaná matice je regulární, stejně jako . Nyní zbývá eliminovat nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit :

.

Inverzní matice k je:

Korektnost

Fakt, že Gaussova–Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice se pomocí elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny , pak platí:

Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí , což dává:

Je-li matice převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici .

Numerické záležitosti

Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.

Výpočet inverze k matici řádu Gaussovou–Jordanovou eliminací má časovou složitost .

Adjungovaná matice

Pomocí determinantu matice a adjungované matice (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce:

Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice má v -tém řádku a -tém sloupci prvek , kde je submatice získaná z matice vynecháním -tého řádku a -tého sloupce.

Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy :

,

kde matice vznikne nahrazením -tého sloupce vektorem . Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle -tého sloupce vede ke vztahu:

,

kde značí podmatici matice vzniklou odstraněním -tého řádku a -tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů a ). Subdeterminanty jsou také nazývány minory určené maticí . Čísla

se nazývají kofaktory matice a dohromady tvoří kofaktorovou matici . Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici a značí se . Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:

Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že je jednotkou v daném okruhu.

Vzorce pro matice řádů 2 a 3

Pro matice řádu 2 platí vzorec:

Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:

,

kde lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.

Ukázky

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:


Výpočetní složitost

Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu vyžaduje aritmetických operací, a každý z prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu měl časovou složitost .

Inverze blokové matice

Je-li dána bloková čtvercová matice kde i Schurův doplněk matice v jsou regulární matice, pak je také regulární matice a platí pro ni:

Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:

Jsou-li naopak i Schurův doplněk matice v regulární, pak platí:

a pro inverzní matici: [3]

Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.[4]

Charakteristický polynom

Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li regulární čtvercová matice a je její charakteristický polynom, pak platí:

Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. značí jednotkovou matici řádu .

Vztah vyplývá z Cayleyho–Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:

Ukázka

Charakteristický polynom matice řádu 3 je kubický polynom .

Dosazení do vzorce dává:

Numerické záležitosti

Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru s regulární neřeší pomocí inverzní matice

,

ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady

za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.

Použití

Řešení lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.

Je-li matice regulární, pak řešení rovnice lze popsat přímo vztahem .

Speciální matice

Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:

  • U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: ,
  • u ortogonálních matic se inverze shoduje s transpozici: ,
  • u unitárních matic se inverzní rovná hermitovské transpozici: .

Inverzi lze určit přímo např. pro diagonální matice, Frobeniovy matice, Hilbertovy matice a tridiagonální Toeplitzovy matice.

Matice inverzního zobrazení

Jsou-li dány a dva -dimenzionální vektorové prostory nad tělesem a bijektivní lineární zobrazení , pak jemu inverzní zobrazení je definováno vztahem:

,

kde představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů a ) pak platí vztah:

Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.

Duální báze

Je konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem , pak odpovídající duální prostor je vektorový prostor lineárních funkcionálů . Je-li báze prostoru , pak odpovídající duální bázi prostoru lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:

,

kde . Jestliže je matice složená z vektorů souřadnic vektorů , pak odpovídající duální matice splňuje:

Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.

Jiné aplikace

Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:

Zobecnění

Pro singulární a obdélníkové matice lze sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inverse Matrix na německé Wikipedii.

  1. Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. S. 70. 
  2. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  3. Stephen M. Watt, University of Western Ontario: Pivot-Free Block matice Inversion
  4. Iria C. S. Cosme, Isaac F. Fernandes, Joao L. de Carvalho, Samuel Xavier-de-Souza: Memory-Usage Advantageous Block Recursive matice Inverse

Literatura

  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

Externí odkazy