Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

---

Konkrétní problémy: Viz seznam ToDo na diskusní stránce

Funkce Alef (značená ${\displaystyle \aleph \,\!}$ a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu ${\displaystyle \alpha }$ přiřadí kardinální číslo představující ${\displaystyle \alpha }$-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

• Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem ${\displaystyle \omega }$, proto platí ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega \,\!}$
• Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{0}\,\!}$.
• ${\displaystyle \aleph _{2}\,\!}$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ atd.
• Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je ${\displaystyle \omega _{0}\,\!}$. Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce ${\displaystyle \aleph \,\!}$ řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}}$ jako supremum všech předchozích hodnot, tedy ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}=\bigcup _{\alpha <\omega _{0}}\aleph _{\alpha }\,\!}$.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+1}\,\!}$ pak bude nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}\,\!}$. Podobně se definuje ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+2}\,\!}$ atd.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+\omega _{0}}\,\!}$ pak bude supremum posloupnosti ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+1},\aleph _{\omega _{0}+2},\dots \,\!}$
• Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Funkcí ${\displaystyle \aleph \,\!}$ rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

• ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega _{0}\,\!}$
• Pro každé ordinální číslo ${\displaystyle \alpha }$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}\,\!}$ rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$
• Pro každé limitní ordinální číslo ${\displaystyle \alpha }$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\aleph _{\beta }\,\!}$

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako ${\displaystyle \alpha +1\,\!}$, právě když není limitní a není to 0.

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$“.

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce ${\displaystyle \aleph \,\!}$ roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ a všech matematických funkcí je ${\displaystyle \aleph _{2}\,\!}$), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla ${\displaystyle \alpha \,\!}$ taková, že ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\alpha \,\!}$. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}}\ldots \,\!}$

• Kardinální číslo
• Ordinální číslo
• Regulární ordinál