Difuzní rovnice je matematický model difuze. Jedná se o obecnou rovnici používanou obecněji k modelování transportních dějů v přírodě. Tedy nejenom k modelování difuze, ale i k modelování vedení tepla nebo proudění podzemní vody. Difuzní rovnice bývá formulována v mnoha více či méně konkretizovaných tvarech v závislosti na spefických vlastnostech materiálu (izotropie, homogenita, (ne-)linearita) nebo difuzního procesu (existence nebo neexistence zdrojů, stacionarita nebo časový vývoj apod.)

Difuzní rovnice vznikne dosazením konstitutivního zákona do rovnice kontinuity. Tímto spojením vznikne parciální diferenciální rovnice $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\sigma +\nabla \cdot (D\nabla u),}$$kde ${\displaystyle u}$ je hustota látky podléhající difuzi, ${\displaystyle \sigma }$ je navýšení této hustoty za jednotku času působením zdrojů, ${\displaystyle \nabla (\cdot )}$ je diferenciální operátor divergence, ${\displaystyle D}$ je difuzní koeficient a ${\displaystyle \nabla u}$ je gradient ${\displaystyle u}$.

Slovně tato rovnice vyjadřuje,

• že množství stavové veličiny, které v daném v daném místě přibude za jednotku času je dáno součtem množství, které vygenerují zdroje a množství, o které se zeslabí tok tímto místem (rovnice kontinuity),
• a že tok je úměrný poklesu koncentrace látky podléhající difuzi (s povolením tenzorové povahy pro konstantu úměrnosti, konstitutivní zákon).

V kartézských souřadnicích je možné difuzní rovnici ve dvou dimenzích pro obecný tenzorový difuzní koeficient ${\displaystyle D={\begin{pmatrix}D_{xx}&D_{xy}\\D_{xy}&D_{yy}\end{pmatrix}}}$ rozepsat do tvaru $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\sigma +{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D_{xx}{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+2{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D_{xy}{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(D_{yy}{\frac {\partial u}{\partial y}}\right).}$$Analogicky je možno postupovat ve třech dimenzích.

• Jsou-li souřadné osy ve vlastních směrech difuzního koeficientu, neuplatní se člen se smíšenými derivacemi, protože v tomto případě je difuzní koeficient diagonální maticí a platí ${\displaystyle D_{xy}=0}$. Pro transformaci do takové soustavy souřadnic slouží matice přechodu.
• Je-li materiál izotropní, je difuzní koeficient ${\displaystyle D}$ skalární veličinou a potom platí ${\displaystyle D_{xy}=0}$ a ${\displaystyle D_{xx}=D_{yy}=D}$. Při vhodné volbě jednotek je navíc možno tento koeficient položit roven jedné.
• Je-li materiál homogenní a je-li difuzní koeficient nezávislý na hustotě veličiny podléhající difuzi, je možné členy s kvaziderivacemi ve tvaru ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D_{xx}{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}$ upravit na členy s druhými derivacemi ve tvaru ${\displaystyle D_{xx}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.
• Pro izotropní homogenní materiál s difuzním koeficentem nezávislým na hustotě veličiny ${\displaystyle u}$ se rovnice redukuje na rovnici^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\sigma +D\nabla ^{2}u,}$$kde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ je Laplaceův operátor.
• Je-li paricální derivace podle času na levé straně rovnice nulová, redukuje se rovnice na stacionární difuzní rovnici. Taková rovnice modeluje stacionární stav, který většinou nastane poté, co se studovaný systém vyrovná s vnějšimi podmínkami a tok i hustota se ustálí na stabilních hodnotách.
• Pokud veličina podléhající difuzi nemůže vznikat ani zanikat, neuplatní se člen vyjadřující působení zdrojů a platí ${\displaystyle \sigma =0}$. V tomto případě jde o bezzdrojovou rovnici.

Vzhledem k výše uvedeným možným modifikacím a zjednodušením se zřídka pracuje s difuzní rovnicí přímo v uvedeném tvaru, ale pracuje se s jejími vhodnými specifikacemi.

• Pro modelování difuze v pohyblivém prostředí je nutno do celkové bilance započítat i pohyb tohoto prostředí. Příslušná rovnice se nazývá rovnice reakce difuze.
• Pro některé úlohy je vhodnější použít nelineární mocninnou závislost v konstitutivním zákoně. To vede na difuzní rovnici s p-Laplaciánem namísto lineárního Laplaceova operátoru.

• Rovnice kontinuity
• Diferenciální operátor
• Parciální diferenciální rovnice
• Druhý Fickův zákon