Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Cauchyovo limitní odmocninové kritérium je v matematice kritérium konvergence nekonečné řady. Závisí na hodnotě

kde jsou členy řady a říká, že řada konverguje absolutně, jestliže tato hodnota je menší než jedna, a diverguje, pokud je větší než jedna. Limitní odmocninové kritérium je obzvláště užitečné pro mocninné řady.

Popis kritéria

Rozhodovací diagram pro Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d'analyse (1821)[1]. Pro řadu

používá Cauchyovo kritérium hodnotu

kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+.[2] Pokud konverguje výraz

pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.

Cauchyův kritérium říká, že:

Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například .

Aplikace na mocninné řady

Toto kritérium lze používat pro mocninné řady

kde koeficienty cn a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.

Členy této řady jsou an = cn(zp)n. Pak lze použít odmocninové kritérium na an, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně , přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.

Důkaz

Důkaz konvergence řady Σan vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny nN (N nějaké pevné přirozené číslo) platí pak . Protože geometrická řada konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i . Tedy Σan konverguje absolutně.

Pokud pro nekonečně mnoho n, pak an nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.

Důkaz důsledku: U mocninné řady Σan = Σcn(z − p)n jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna nN je

což je ekvivalentní s

pro všechna nN. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s

takže Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud

(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Root test na anglické Wikipedii.

  1. BOTTAZZINI, Umberto. The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. [s.l.]: Springer-Verlag, 1986. Dostupné online. ISBN 978-0-387-96302-0. S. 116–117. . Překlad z italštiny Warren Van Egmond.
  2. Terrence Tichaona Dobbie (2017)

Související články

Literatura

  • JARNÍK, Jiří. Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979. Dostupné online. Kapitola 3, s. 68–69. 
  • Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN 0-486-60153-6. Kapitola 3.2. (anglicky) 
  • WHITTAKER, E. T.; WATSON, G. N. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3. Kapitola 2.35. (anglicky) 
  • Proof of Cauchy's root test [online]. PlanetMath [cit. 2020-01-30]. Dostupné online. (anglicky)