L'òptica hamiltoniana i l'òptica lagrangiana són dues formulacions d'òptica geomètrica que comparteixen gran part del formalisme matemàtic amb la mecànica hamiltoniana i la mecànica lagrangiana.^[1]

En física, el principi de Hamilton estableix que l'evolució d'un sistema ${\displaystyle \left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)}$ descrit per ${\displaystyle N}$ coordenades generalitzades entre dos estats especificats en dos paràmetres especificats σ _A i σ _B és un punt estacionari (un punt on la variació és zero) de la funcional d'acció, o ^[2]$${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$$ on ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ i ${\displaystyle L}$ és el Lagrangià. Condició ${\displaystyle \delta S=0}$ és vàlid si i només si es compleixen les equacions d'Euler-Lagrange, és a dir, $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$$ amb ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$.

L'impuls es defineix com $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$$ i les equacions d'Euler-Lagrange es poden reescriure com a $${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$$ on ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$.

Un enfocament diferent per resoldre aquest problema consisteix a definir un hamiltonià (prenent una transformada de Legendre del lagrangià) com $${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$$ per a la qual cosa es pot derivar un nou conjunt d'equacions diferencials observant com la diferencial total del Lagrangià depèn del paràmetre σ, posicions ${\displaystyle q_{i}}$ i els seus derivats ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ relatiu a σ. Aquesta derivació és la mateixa que en la mecànica hamiltoniana, només amb el temps t ara substituït per un paràmetre general σ. Aquestes equacions diferencials són les equacions de Hamilton $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$$ amb ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$. Les equacions de Hamilton són equacions diferencials de primer ordre, mentre que les equacions d'Euler-Lagrange són de segon ordre.^[3]

Els resultats generals presentats anteriorment per al principi de Hamilton es poden aplicar a l'òptica.^[4] A l'espai euclidià 3D, les coordenades generalitzades són ara les coordenades de l'espai euclidià.

El principi de Fermat estableix que la longitud òptica del camí seguit per la llum entre dos punts fixos, A i B, és un punt estacionari. Pot ser un màxim, un mínim, constant o un punt d'inflexió. En general, a mesura que viatja la llum, es mou en un medi d'índex de refracció variable que és un camp escalar de posició a l'espai, és a dir, ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ a l'espai euclidià 3D. Suposant ara que la llum viatja al llarg de l'eix x ₃, el camí d'un raig de llum es pot parametritzar com ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ començant en un punt ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ i acaba en un punt ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$. En aquest cas, en comparació amb el principi de Hamilton anterior, les coordenades ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ assumir el paper de les coordenades generalitzades ${\displaystyle q_{k}}$ mentre ${\displaystyle x_{3}}$ pren el paper de paràmetre ${\displaystyle \sigma }$, és a dir, el paràmetre σ = x ₃ i N =2.

En el context del càlcul de variacions això es pot escriure com $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$$ on ds és un desplaçament infinitesimal al llarg del raig donat per ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ i $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$$ és el Lagrangià i òptic ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$.

La longitud del camí òptic (OPL) es defineix com $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$$ on n és l'índex de refracció local en funció de la posició al llarg del camí entre els punts A i B.

Se suposa que la llum viatja al llarg de l'eix x ₃, segons el principi de Hamilton anterior, coordenades ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ assumir el paper de les coordenades generalitzades ${\displaystyle q_{k}}$ mentre ${\displaystyle x_{3}}$ pren el paper de paràmetre ${\displaystyle \sigma }$, és a dir, el paràmetre σ = x ₃ i N =2.

Si el pla x ₁ x ₂ separa dos medis d'índex de refracció n _A per sota i n _B per sobre, l'índex de refracció ve donat per una funció de pas. $${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$$ i a partir de les equacions de Hamilton $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$$ i per tant ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ o ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$ per a k = 1, 2 .

Un raig de llum entrant té moment p _A abans de la refracció (per sota del pla x ₁ x ₂ ) i moment p _B després de la refracció (sobre el pla x ₁ x ₂ ). El raig de llum forma un angle θ _A amb l'eix x ₃ (la normal a la superfície de refracció) abans de la refracció i un angle θ _B amb l'eix x ₃ després de la refracció. Com que les components p ₁ i p ₂ del moment són constants, només p ₃ canvia de p _{3 A} a p _{3 B} .

A partir de la definició de la longitud del camí òptic ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$$

amb k =1,2 on les equacions d'Euler-Lagrange ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ amb k = 1,2 es van utilitzar. També, de l'última de les equacions de Hamilton ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ i des de ${\displaystyle H=-p_{3}}$ a dalt $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$$ combinant les equacions per a les components de la quantitat de moviment p resulta $${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

La figura "Espai de fase 2D" mostra a la part superior alguns raigs de llum en un espai bidimensional. Aquí x ₂ = 0 i p ₂ = 0, de manera que la llum viatja sobre el pla x ₁ x ₃ en direccions de valors creixents de x ₃ . En aquest cas ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ i la direcció d'un raig de llum està completament especificada per la component p ₁ del moment ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ ja que p ₂ = 0. Si es dóna p ₁, es pot calcular p ₃ (donat el valor de l'índex de refracció n ) i per tant p ₁ és suficient per determinar la direcció del raig de llum. L'índex de refracció del medi pel qual viatja el raig ve determinat ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$ .