Teoremes de Picard (anàlisi complexa)

Aquest article tracta sobre el recorregut de funcions analítiques. Si cerqueu el teorema sobre existència i unicitat de solucions d'equacions diferencials, vegeu «Teorema de Picard-Lindelöf».

En anàlisi complexa, el gran Teorema de Picard i el petit Teorema de Picard són dos teoremes relacionats entre si que tracten sobre el recorregut d'una funció analítica. Reben aquest nom pel matemàtic Charles Émile Picard.

Teoremes

Gràfic de la funció exp(1⁄z), centrada en la singularitat essencial de z = 0. El color representa l'argument complex, i la intensitat representa el valor absolut. Aquest gràfic mostra que, si hom s'apropa arbitràriament a la singularitat, la funció pren qualsevol valor.

Petit Teorema de Picard

Si una funció f : C → C és entera i no constant, llavors el conjunt de valors que pren f(z) és o bé la totalitat del pla complex, o bé el pla menys un sol punt.


Petit Teorema de Picard

Aquest teorema és una versió significativament més forta que el teorema de Liouville, que estableix que la imatge d'una funció entera no constant ha de ser no fitada. Posteriorment hi hagué altres versions del teorema de Picard, de les quals el Teorema de Schottky n'és una versió quantitativa.

Gran Teorema de Picard

Si una funció analítica f té una singularitat essencial al punt w, llavors, en un entorn perforat de w, f(z) pren tots els valors complexos possibles, amb l'excepció d'un com a màxim, infinites vegades.


Gran Teorema de Picard

Aquesta és una versió significativament més forta que el Teorema de Weierstrass-Casorati, que només garanteix que el recorregut de f és dens dins del pla complex.

És necessari considerar l'"excepció" a ambdós teoremes, com es pot veure amb aquests contraexemples:

  • ez és una funció entera no constant que mai pren el valor 0.
  • e1/z té una singularitat essencial a z = 0, però mai pren el valor 0.

Generalització i recerca actual

El Gran Teorema de Picard també és cert pel cas general de funcions meromorfes:

Si M és una superfície de Riemann, w és un punt de M, P¹(C) = C ∪ {∞} denota l'esfera de Riemann i f : M\{w} → P¹(C) és una funció holomorfa amb una singularitat essencial a w, llavors, en qualsevol subconjunt obert de M que contingui w, la funció f(z) pren com a valors tots els punts de P¹(C) excepte dos un nombre infinit de vegades.


Gran Teorema de Picard (versió meromorfa)

Exemple: La funció meromorfa f(z) = 1/(1 − e1/z) té una singularitat essencial a z = 0, i pren el valor ∞ infinites vegades en qualsevol entorn de 0; però mai pren els valors 0 ni 1.

Amb aquesta generalització, el Petit Teorema de Picard és una conseqüència del Gran Teorema de Picard, ja que una funció entera és o bé un polinomi, o bé té una singularitat essencial a l'infinit.[1]

La següent conjectura està relacionada amb el "Gran Teorema de Picard".[2]

Conjectura: Sigui {U1, ..., Un} una col·lecció de subconjunts oberts de C que recobreix el disc unitat perforat D \ {0}. Suposem que en cada Uj existeix una funció holomorfa injectiva fj, tal que dfj = dfk en cada intersecció Uj ∩ Uk. Llavors les diferencials es combinen en una 1-forma diferencial meromorfa sobre D.

És fàcil veure que les diferencials es combinen en una 1-forma holomorfa g dz sobre D \ {0}. En el cas especial que el residu de g al punt 0 és zero, la conjectura és una conseqüència del "Gran Teorema de Picard".

Referències

  1. ↑ Sheng Gong, Youhong Gong. Concise Complex Analysis (en anglès). World Scientific Publishing Company, 2007, p. 160. ISBN 9789813106987. 
  2. ↑ Elsner, B. «Hyperelliptic action integral». Annales de l'Institut Fourier, 49, 1, 1999, pàg. 303–331. DOI: 10.5802/aif.1675.

Bibliografia

Read other articles:

City2Surf (Sydney)

The Sun-Herald City2SurfLetakSydneyJarak14 kilometer Para peserta acara tahun 2007 melintasi Kings Cross City2Surf (atau City to Surf) adalah sebuah kegiatan lari jalan terkenal yang diadakan setiap tahun di Sydney, Australia yang melewati rute sejauh 14 kilometer (8,7 mi). Kegiatan ini adalah sebuah lari santai juga lomba, menarik para pelari aktif dan peserta masyarakat yang ingin berlari atau berjalan. Sydney City2Surf telah diadakan sebagai kegiatan tahunan sejak pertama diadakan tan...

 

Gaslamp Quarter, San Diego, California

Pintu masuk ke Gaslamp Quarter. Gaslamp memiliki bangunan-bangunan bersejarah. Bangunan Yuma di Gaslamp. Gaslamp Quarter adalah sebuah pemukiman bersejarah sepanjang 16 1/2 blok di pusat kota San Diego, California. Tahap awal pembangunannya dimulai tahun 1867, ketika Alonzo Horton membeli tanah untuk membangun pusat kota baru yang lebih dekat dengan teluk, dan memilih 5th Avenue sebagai jalan utamanya. Setelah periode kerusakan urban, pemukiman ini menjalani pembaruan urban tahun 1980-an dan...

 

قطري بن الفجاءة

قطري بن الفجاءة أمير الموت معلومات شخصية الميلاد القرن 7  الجزيرة العربية الوفاة سنة 697[1]  مدينة سمنان  الكنية أبو محمد، وأبو نعامة اللقب أمير المؤمنين خليفة المسلمين أمير الموت الحياة العملية المهنة ثوري اللغات العربية  تعديل مصدري - تعديل   قطري بن الفجاء...

Region Ancash

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Region Ancash See other Peruvian regions Presiden Ricardo Narváez Soto Ibu kota Huaraz  - Coordinates 9°32′S 77°32′W / 9.53°S 77.53°W / -9.53; -77.53Koordinat: 9°32′S 77°32′W / 9.53°S 77.53°W / -9.53; -77.53 Kota terbesar Chimbote Wilayah 35.914,41 k...

 

McLibel case

Legal action against and by activists McLibel redirects here. For the film, see McLibel (film). McLibel caseFull case nameMcDonald's Corp v Steel (No.4) Decided19 June 1997Case historyPrior action(s)McDonald's Corporation v Steel & Morris (Trial) and 3 procedural appeals (McDonald's Corp v Steel No.1 – 3)Subsequent action(s)Steel & Morris v United KingdomCourt membershipJudge(s) sittingPill LJ, May LJ, Keene J Subsequent ECHR decisionCourtEuropean Court of Human Rights (Fourth Secti...

 

MTV Video Music Awards 2010

2010 MTV Video Music Awards Tanggal September 12, 2010 Tempat Nokia Theatre Host Chelsea Handler[1] 2010 MTV Video Music Awards diadakan pada 12 September, 2010 di Nokia Theatre di Los Angeles, memberi penghargaan pada video musik terbaik tahun sebelumnya. Chelsea Handler menjadi host acara, perempuan pertama yang melakukan ini semenjak 1994 MTV Video Music Awards.[1] Keseluruhan, acara menangkan 11,4 juta penonton — penonton terbanyak sejak 2002[2] Nominasi Pemenan...

Enrico Oldoini

Da sinistra: Enrico Oldoini con Athina Cenci ed Ezio Greggio sul set di Yuppies 2 (1986) Enrico Oldoini (La Spezia, 4 maggio 1946 – Roma, 10 maggio 2023[1]) è stato uno sceneggiatore e regista italiano. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 2.1 Regista 2.1.1 Cinema 2.1.2 Televisione 2.2 Sceneggiatore 2.2.1 Cinema 2.2.2 Televisione 3 Note 4 Collegamenti esterni Biografia Spezzino di nascita, frequentò l'Università degli Studi di Roma La Sapienza; successivamente si iscrisse all'Accadem...

 

Marsaxlokk

Marsaxlokk MarsaxlokkDewan lokal BenderaLambang kebesaranLokasi di MaltaNegara MaltaLuas • Total4,7 km2 (18 sq mi)Populasi (2014) • Total3.534 • Kepadatan75/km2 (190/sq mi)Kode ISO 3166-2MT-28Situs webhttp://www.marsaxlokk.gov.mt Marsaxlokk adalah salah satu dewan lokal di Malta. Menurut sensus 2014, Marsaxlokk memiliki luas 4,7 kilometer persegi dan populasi 3.534 jiwa. Kode ISO 3166-2 daerah ini adalah MT-28. Referensi City P...

 

1844 au Canada

Éphémérides Chronologie du Canada 1841 1842 1843  1844  1845 1846 1847Décennies au Canada :1810 1820 1830  1840  1850 1860 1870 Chronologie dans le monde 1841 1842 1843  1844  1845 1846 1847Décennies :1810 1820 1830  1840  1850 1860 1870Siècles :XVIIe XVIIIe  XIXe  XXe XXIeMillénaires :-Ier Ier  IIe  IIIe Chronologies géographiques Afrique Afrique du Sud, Algérie, Angola, Bénin, Botswana, Burkina Faso, ...

James Tarkowski

English footballer (born 1992) James Tarkowski Tarkowski playing for Burnley in 2017Personal informationFull name James Alan TarkowskiDate of birth (1992-11-19) 19 November 1992 (age 31)Place of birth Manchester, EnglandHeight 6 ft 1 in (1.85 m)[1]Position(s) Centre-backTeam informationCurrent team EvertonNumber 6Youth career Blackburn RoversSenior career*Years Team Apps (Gls)2008–2009 Maine Road 2009–2014 Oldham Athletic 72 (5)2014–2016 Brentford 70 (4)2016�...

 

Turn It Up (Remix) / Fire It Up

1997 single by Busta Rhymes Turn It Up (Remix) / Fire It UpSingle by Busta Rhymesfrom the album When Disaster Strikes... and Can't Hardly Wait: Music From The Motion Picture B-sideRhymes GaloreReleasedMay 15, 1998Recorded1997StudioSoundtrack Studios, New York CityGenreHip hopLength3:55LabelFlipmodeElektraSongwriter(s)Trevor SmithProducer(s)Busta RhymesSpliff Star (co.)Busta Rhymes singles chronology Victory (1998) Turn It Up (Remix) / Fire It Up (1998) Everybody on the Line Outside (1998)...

 

زاستافا أم 70

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) زاستافا أم 70 النوع بندقية اقتحام بلد الأصل  جمهورية يوغسلافيا الاشتراكية الاتحادية تاريخ الاستخدام ف�...

Mal Kudus

Mall of KudusLokasiKudusAlamatJl Simpang Tujuh, Demaan, Kota Kudus, Kudus, Jawa TengahTanggal dibuka2001; 23 tahun lalu (2001)PemilikPemkab KudusJumlah lantai4ParkirHalaman Mal Kudus atau Mall of Kudus (disebut juga MOK) adalah salah satu mal yang terletak di Desa Demaan, Kecamatan Kota Kudus, Kabupaten Kudus. Mal yang berdiri pada tahun 2001 ini terletak di sudut timur Alun-Alun Kudus, atau lebih dikenal sebagai Simpang Tujuh Kudus.[1][2] Mal ini terdiri dari empat lanta...

 

Ronald Senungetuk

Iñupiaq artist (1933–2020) Ronald SenungetukBorn1933Wales, Territory of AlaskaDiedJanuary 21, 2020 (aged 87)NationalityIñupiaqEducationRochester Institute of TechnologyKnown forsculpture, jewelry, paintingMovementAlaska Native artAwardsFulbright Fellowship Ronald Senungetuk (/səˈnʌŋɡɛtˌʌk/ sə-NUNG-ɡet-uk;[1] 1933 – January 21, 2020)[2] (last name pronounced Sinuŋituk in Iñupiaq) was an Iñupiaq artist originally from Wales, Alaska, who worked primar...

 

List of Acacia species known to contain psychoactive alkaloids

This article is a list of Acacia species (sensu lato) that are known to contain psychoactive alkaloids, or are suspected of containing such alkaloids due to being psychoactive. The presence and constitution of alkaloids in nature can be highly variable, due to environmental and genetic factors. Acacias known to contain psychoactive alkaloids This section may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: Should update to current nomenclature for genus moves. ...

Bolt (company)

Peer-to-peer ridesharing, food delivery This article may have been created or edited in return for undisclosed payments, a violation of Wikipedia's terms of use. It may require cleanup to comply with Wikipedia's content policies, particularly neutral point of view. (June 2020) BoltFormerlymTakso, TaxifyIndustryTransportationMobility as a serviceFoundedAugust 2013; 10 years ago (2013-08)FounderMarkus VilligHeadquartersTallinn, EstoniaArea served45 countries in Europe, Af...

 

Coppa delle Alpi 1966

Coppa delle Alpi 1966 Competizione Coppa delle Alpi Sport Calcio Edizione 6ª Luogo  Svizzera Partecipanti 8 Risultati Vincitore  Napoli(2º titolo) Statistiche Incontri disputati 16 Gol segnati 53 (3,31 per incontro) Una formazione del Napoli 1965-1966, vincitore finale dell'edizione. Cronologia della competizione 1964 1967 Manuale La Coppa delle Alpi 1966 è stata la 6ª edizione del torneo a cui hanno partecipato le squadre dei campionati italiano e svizzero e che si è svo...

 

Galisia (Spanyol)

Peta Spanyol menunjukkan lokasi Galicia Galicia (atau Galiza dalam bahasa Galicia) adalah sebuah wilayah otonomi Spanyol yang terletak di barat laut negara itu. Wilayah ini berbatasan dengan Portugal di selatan. Luas wilayahnya 29.574 km² dan jumlah penduduknya 2.737.370 jiwa (2003). Ibu kotanya ialah Santiago de Compostela. Sejarah Nama Galicia berasal dari nama Latin Gallaecia, yang terkait dengan suku Celtic kuno yang tinggal di hulu sungai Douro, suku Gallaeci atau Callaeci dalam ba...

Cetacea

Cetáceos Rango temporal: Eoceno-Reciente PreЄ Є O S D C P T J K Pg N Diferentes tipos de cetáceos.TaxonomíaReino: AnimaliaFilo: ChordataSubfilo: VertebrataClase: MammaliaSubclase: TheriaInfraclase: PlacentaliaMagnorden: BoreoeutheriaSuperorden: LaurasiatheriaGranorden: ScrotiferaOrden: ArtiodactylaSuborden: WhippomorphaInfraorden: CetaceaBrisson, 1762Parvórdenes Archaeoceti † (P) Neoceti Mysticeti Odontoceti [editar datos en Wikidata] Los cetáceos (Cetacea) son un infraorde...

 

Palacio de Minería

Palacio de Minería Monumento histórico Vista de la fachadaUbicaciónPaís México MéxicoDivisión Centro histórico de la Ciudad de MéxicoMunicipio CuauhtémocDirección Calle Tacuba 06000Ubicación Tacuba 5Coordenadas 19°26′08″N 99°08′22″O / 19.43556, -99.13944CaracterísticasArquitecto Manuel Tolsá Antonio Villard (Reconstrucción)Estilo NeoclásicoHistoriaFundador Real Seminario de Minería de la Nueva EspañaConstrucción 1797 y 1813Reconstrucción 1830-1842...