El teorema de Línnik en teoria analítica dels nombres respon a una qüestió que sorgeix de manera natural a partir del teorema de Dirichlet. Afirma que, si es nota p(a,d) el nombre primer més petit de la progressió aritmètica

${\displaystyle a+nd\,}$,

per a un nombre enter n> 0, on a i d són qualsevulla enters positius primers entre ells tals que 1 ≤ a ≤ d, existeixen nombres c i L positius tals que:

${\displaystyle p(a,d)<cd^{L}\,}$.

El teorema s'anomena així en honor de Iuri Vladímirovitx Línnik (1915-1972) qui el va demostrar el 1944.^[1][2] Tot i que la demostració de Línnik demostra que c i L són efectivament calculables, no va donar cap valor numèric per a aquestes constants.

La constant L s'anomena la constant de Línnik la següent taula presenta els progressos que s'han ant fent per determinar el seu valor.

A més, segons els resultats de Heath-Brown la constant c és efectivament calculable.

Se sap que L ≤ 2 quasi per a tots els enters d.^[14]

Amb la hipòtesi generalitzada de Riemann es pot demostrar que

${\displaystyle p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

on ${\displaystyle \varphi }$ és la funció Fi d'Euler.^[13]

També s'ha conjecturat que:

${\displaystyle p(a,d)<d^{2}\;.}$^[13]