En matemàtiques, el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemes dinàmics estableix que si existeix una funció ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ (anomenada la funció Dulac) tal que l'expressió

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}}$

té el mateix signe ${\displaystyle \neq 0}$ gairebé pertot en una regió simplement connex del pla, llavors el sistema autònom del pla

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(x,y)}$

no té solucions periòdiques no-constants que es trobin completament dins de la regió.^[1] «Gairebé pertot» significa a tot arreu excepte possiblement en un conjunt de mesura 0, com un punt o línia.

El teorema va ser establert per primera vegada pel matemàtic suec Ivar Bendixson el 1901 i posteriorment refinat pel matemàtic francès Henri Dulac el 1933 utilitzant el teorema de Green.

Utilitzant la prova per contradicció i sense perdre la generalitat, fem que hi hagi una funció ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ tal que existeixi una funció tal que

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0}$

a la regió simplement connexa ${\displaystyle R}$. Sigui ${\displaystyle C}$ una trajectòria tancada del sistema autònom del pla en ${\displaystyle R}$. Fem que ${\displaystyle D}$ es trobi a l'interior de ${\displaystyle C}$. Llavors pel teorema de Green,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\oint _{C}\left(-\varphi g\,dx+\varphi f\,dy\right)\\[6pt]={}&\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}\,dx+{\dot {x}}\,dy\right).\end{aligned}}}$

A causa del signe constant, la integral esquerra de la línia anterior ha d'avaluar un nombre positiu. Però al llarg de ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle dx={\dot {x}}\,dt}$ i ${\displaystyle dy={\dot {y}}\,dt}$, l'integrand s'anul·la (és de fet és 0 a tot arreu). Això és una contradicció, de manera que no pot haver-hi aquesta trajectòria tancada ${\displaystyle C}$; la solució periòdica no existeix i es demostra el teorema.

• Cappell, S.E; Shaneson, J.L «Non-linear similarity» (en anglès). Ann. of Math, 113, 1981.
• Kuiper, N.H «The topology of the solutions of a linear differential equation on» (en anglès). Proc. Internat. Congress on Manifolds [Tokyo], 1973.
• Kuiper, N.H; Robbin, J.W «Topological classification of linear endomorphisms» (en anglès). Inv. Math., 19, 1973.

• Teorema de Poincaré-Bendixson