PROFILPELAJAR.COM

El sinus del topòleg, dins l'entorn de topologia, és una corba continguda en $\mathbb {R} ^{2}$ utilitzada sovint per il·lustrar determinades propietats dels espais topològics.^[1] S'utilitza especialment a manera d'exemple d'espai topològic que és connex però no connex per camins.

Definició

Una definició usual del sinus del topòleg és l'adherència de la corba

A=\left\{\left(x,{\mbox{sin}}\left({\tfrac {1}{x}}\right)\right),\ x\in (0,1]\right\}

,

presentada ${\bar {A}}$ , i que es defineix al seu torn com la unió de $A$ amb el seu frontera, el segment

\partial A=\{(0,i),\ i\in [-1,1]\}

A mesura que x s'acosta a zero, 1/x creix cada vegada més ràpid (de fet, tendeix a infinit), per la qual cosa la freqüència de la corba sinusoidal també és cada vegada més gran. Al límit, la freqüència és infinita.

Variants

De vegades, es considera només $A$ , o la unió de $A$ amb el punt $(0,0)$ . També es pot considerar la funció $f(x)={\mbox{sin}}({\tfrac {1}{x}})$ definida en un interval diferent de (0,1],^[2] encara que sempre en un interval obert a 0. Fins i tot es pot fer distinció entre la "corba tancada» ( ${\bar {A}}$ ) i la« corba oberta »( $A$ ) del sinus del topòleg.^[1]

Propietats

Com adherència d'una funció contínua, ${\bar {A}}$ és un espai connex. Tanmateix, no és connex per camins, ja que no hi ha un camí $f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}$ que uneixi els punts $(1,{\mbox{sin}}(1))$ i $(0,0)$ . Per veure que és així, considerem la successió formada pels punts, presos de dreta a esquerra en la gràfica, la segona component és alternativament +1 o -1. Aquesta successió no convergeix.