En matemàtica, una sèrie formal de potències (de vegades sèrie de potències formal) és una expressió matemàtica que estén les propietats de les sèries de potències en cossos com el dels reals o el dels complexos, permetent donar sentit formal a diverses notacions que tècnicament no tenen rigor. Les sèries formals de potències tenen diverses aplicacions, podent esmentar la combinatòria i la teoria de nombres.

Informalment podem pensar que una sèrie de potències formal és una sèrie infinita de termes de la forma

${\displaystyle S(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

això és, un polinomi amb infinits termes, en què els a _k són elements d'un cos. Per formalitzar això, considerem el conjunt de totes les successions infinites d'elements d'un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$, les quals representarem d'aquesta forma:

${\displaystyle A=(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$

Denotarem al conjunt de totes aquestes successions amb el símbol ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$. Definim la suma d'aquestes successions de la forma següent:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots )}$

i la seva ponderació (multiplicació per escalar) per un element del cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ com:

${\displaystyle k(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=(ka_{0},ka_{1},ka_{2},\dots )}$

Això dona al conjunt ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ una estructura d'espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, com pot comprovar directament. Ara definim el producte entre dues successions de ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ segons la fórmula:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )\times (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(a_{0}b_{0},a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1},a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2},\dots )}$

en què, si ${\displaystyle A\times B=C=(c_{0},c_{1},c_{2},\dots )}$, el terme general c _k és:

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m+n=k}a_{m}b_{n}}$

Noteu que aquesta definició coincideix amb la de producte de Cauchy de dues successions. Així mateix, si multipliquem dos polinomis (o dues sèries absolutament convergents) amb coeficients reals o complexos, veiem que els coeficients del resultat segueixen una regla anàloga. Pel mateix aquesta definició és coherent des d'un punt de vista intuïtiu.

Es pot demostrar per la definició que l'operació ${\displaystyle \times }$ en ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ és commutativa, associativa i distributiva, el que implica que ${\displaystyle (\mathbb {K} ^{\infty },+,\times )}$ és una ${\displaystyle \mathbb {K} }$-àlgebra lineal commutativa amb unitat, és a dir, una estructura algebraica que és tant espai vectorial com anell commutatiu amb unitat, sent l'element neutre la successió 1 = (1,0,0, ...).

Adoptarem, com és habitual, la notació ${\displaystyle S^{0}=1,S^{1}=S,S^{n+1}=S^{n}\times S}$. Denotarem per x a la successió (0,1,0,0, ...). Noteu que a la resta d'aquest article la lletra x denotarà a aquesta successió i no a una variable . Tenim llavors:

${\displaystyle x^{0}=(1,0,0,0,...),x^{1}=(0,1,0,0,...),x^{2}=(0,0,1,0,...),x^{3}=(0,0,0,1,...)}$

etc. Tenim llavors la igualtat:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots )=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

Aquesta és la definició d'una sèrie formal de potències. Nota: el conjunt de les sèries de potències per als quals existeix un índex k que satisfà que a _n = 0 per a tot n> k és una sub-àlgebra lineal de ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ isomorfa al conjunt de les funcions polinomis en el cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (a menys que aquest cos sigui finit). En general, denotem a ambdós conjunts amb el símbol ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ i no fem distinció entre una sèrie formal finita i un polinomi.

Noteu que en el concepte de sèrie formal de potències la notació ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ és només una expressió convenient i no al·ludeix de cap manera a la convergència o divergència de la sèrie, oa assignar-li un valor. Es reitera que x representa la successió (0,1,0,0 ...) i no és una variable. En el cas d'una sèrie finita (polinomi) hi ha una forma d'assignar directament un valor, el que s'analitzarà posteriorment.^[1]

Tot i que el treball amb una sèrie de potències formal no involucra de cap manera assignar un valor a una sèrie ${\displaystyle S=S(x)=(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\dots }$, podem, si s'escau, assignar en certs casos un nombre a una sèrie de potències S, de la manera següent:

Sigui ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-àlgebra lineal amb unitat, ii un espai vectorial ${\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\cdot )}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ amb una segona operació ${\displaystyle \times }$ que li dona a ${\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\times )}$ una estructura d'anell amb unitat. Com abans, donat un element ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, denotem ${\displaystyle \alpha ^{0}=1,\alpha ^{1}=\alpha ,\alpha ^{n+1}=\alpha \times \alpha ^{n}}$, en què 1 és l'element unitat de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (com és usual). Llavors, donada una sèrie finita o polinomi formal ${\displaystyle S(x)=(s_{0}x^{0}+s_{1}x^{1}+s_{2}x^{2}+\dots +s_{n}x^{n})\in \mathbb {K} [x]}$, se li assigna a cada ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ un element de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ donat per:

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\alpha ^{k}=s_{0}\cdot 1+s_{1}\alpha +s_{2}\alpha ^{2}+\dots +S_{n}\alpha ^{n}}$

Per exemple, si ${\displaystyle P(x)=(1+x^{2}-3x^{4})\in \mathbb {R} [x]}$, s'ha de ${\displaystyle P(2)=(1+(2)^{2}-3((2)^{4}))=1+4-48=-43}$.

Per assignar d'una manera anàloga un valor a una sèrie de potències formal infinita s'han d'introduir els conceptes de límit i convergència, per a això és necessari definir una topologia sobre el conjunt ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Per exemple, si considerem la sèrie ${\displaystyle S(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+\dots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$, podem dir, per exemple, que:

${\displaystyle S\left({\frac {1}{2}}\right)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots =2}$

i, en general:

${\displaystyle S(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\dots ={\frac {1}{1-x}}}$

No obstant això, per la manera com s'ha construït la topologia de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, és a dir, per la definició de límit en el cos dels reals, la darrera igualtat és vàlida només quan |x|<1. No obstant això, mitjançant manipulacions algebraiques o analítiques pot assignar un valor a altres sèries encara que no convergeixin en sentit estricte (vegeu Sèrie divergent per a més detalls), per exemple, donada la mateixa sèrie de l'exemple anterior, intentem assignar mitjançant mètodes de l'àlgebra un valor a S(2):

S(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = u

2u = 2·1 + 2·2 + 2·4 + 2·8 + ... = 2 + 4 + 8 + 16 + ... = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) - 1 = u - 1

2u = u - 1

u = -1

Podem veure que, tot i que això en sentit estricte no és correcte, és un resultat coherent i podem considerar vàlid en cert context en què es requereixi que S(2) tingui un valor.