El seu pare era un grec, nascut a Constantinoble que va arribar a França el 1903 per estudiar enginyeria. Durant la Primera Guerra Mundial es va allistar voluntari a l'exèrcit francès per aconseguir la ciutadania, va participar en la campanya dels Dardanels (1915) i va retornar a França, malalt de tifus, però condecorat.[1] De nen va viure a Lilla fins que la família es va traslladar el 1926 a París,[2] on va cursar els estudis secundaris als liceus Ledru-Rollin i Louis-le-Grand,[3] obtenint excel·lents resultats en els Concours général dels anys 1932 i 1933. El 1936 ingressa a l'École Normale Supérieure en la qual es va graduar el 1939, empatant en la primera plaça amb Jacqueline Ferrand,[4] examinats tots dos per Jean Dieudonné.[5]
En esclatar la Segona Guerra Mundial va ser mobilitzat i el juny de 1940 va ser capturat a Nancy i fet presoner de guerra. Va ser alliberat el juny de 1941 amb una pleuritis, de la qual no es va recuperar fins a finals d'any. Els anys següents va sobreviure amb una assignació de recerca del CNRS i un lloc d'assistent a la Sorbona. El 1947 va obtenir el doctorat[6] i es va convertir en professor a la universitat de Rennes. El 1949 va ser nomenat professor de la universitat de Caen que ja no va deixar la resta de la seva vida.[7] El 1977 li van diagnosticar una malaltia de Parkinson que el va anar deteriorant progressivament. El 1986 es va retirar i va morir el 1994 a Caen.
Apéry, al contrari que la majoria dels seus companys estudiants de matemàtiques a l'ENS, va ser un anti-bourbaki en permanent revolta contra les matemàtiques estructurals i el mètode axiomàtic.[8] Tot i així, va mantenir l'amistat amb Jean Dieudonné, qui el va arribar a convidar a fer una conferència a l'ENS el 1976, en plena época de bourbakisme triomfant.[9]
Apéry és recordat per haver demostrat el 1978 (quan tenia seixanta-dos anys) que és un nombre irracional.[10] és el valor de la funció zeta de Riemann quan la variable independent és i avui rep el nom de constant d'Apéry. Tot i que la seva demostració va aixecar les suspicàcies dels assistents, en part per la seva forma de presentar-la, tothom va acabar acceptant que la demostració era correcta.[11] Per això, en la seva làpida al columbari del cementiri del Père-Lachaise de París, va fer gravar aquesta inscripció:
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Roger Apéry» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.