Richard Griffiths va néixer a Yorkshire del Nord de pares obrers, tots els dos sords-muts, portant-lo a aprendre el llenguatge dels signes.[1] Travessa una infantesa moguda, amb nombroses temptatives de fugues, i abandonant l'escola als 15 anys.[2] Contractat com a porter, el seu patró l'encoratja a tornar a l'escola, segueix llavors un curs d'art dramàtic al Stockton & Billingham College.[3] Fa també un curs al Manchester School of Theatre.
Després dels seus estudis, troba una plaça a la BBC Radio, simultàniament treballa en petits teatres, com a actor o director. S'instal·la a Manchester per interpretar papers més grans i fa petites aparicions a sèries de televisió. És descobert per Trevor Nunn, director artístic de la Royal Shakespeare Company, que li aconsella anar a Londres.[3] Destaca llavors sobre els escenaris, interpretant al si de la Royal Shakespeare Company peces com Volpone de Ben Jonson, Henry VIII de Shakespeare,
La Casa dels cors trencats de George Bernard Shaw, així com « Art » de Yasmina Reza, traduïda per Christopher Hampton.
El 1977, apareix per la primera vegada al cinema a It Shouldn't Happen to a Vet d'Eric Till. Roda altres films, interpretant petits papers en grans produccions com Superman 2, Carros de foc o Gandhi. Però el seu paper de l'oncle Monty al film Withnail i jo, el 1987, el descobrirà pel gran públic britànic.[4] És també conegut per les seves nombroses aparicions a la televisió. Actua a Hope & Glory, A Kind of Living, però és sobretot conegut pel paper de Henry Crabbe, un inspector decebut, a la sèrie Pie in the Sky de 1994 a 1997.[2]
El 2004, actua a la peça The History Boys d'Alan Bennett, cosa que li permetrà realitzar el rar doblet de guanyar el 2006 el premi Tony al millor actor d'una obra (Nova York) i el premi Laurence Olivier (Londres) al millor actor.[4] Encara al teatre, el 2007, retroba Daniel Radcliffe (Harry Potter) a l'obra Equus de Peter Shaffer, fent el paper del psiquiatre.[1]
El 2011, actua en altres grans produccions en els papers del Rei Georges II a Pirates dels Carib: La Font de la joventud i de Senyor Frick a Hugo Cabret.
De maig a juliol de 2012, actua a la peça The Sunshine Boys de Neil Simon al costat de Danny DeVito.[1]
És també conegut pels seus crits contra la molèstia ocasionada pels mòbils durant les representacions, no dubtant en aturar-se en mig d'una obra per cridar un espectador. El 2004, fins i tot fa sortir de la sala un espectador el portàtil del qual havia sonat diverses vegades.[2]