Punt de l'infinit

El punt de l'infinit, punt a l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introdueix a manera de tancament o frontera infinita del conjunt dels nombres reals. Quan s'afegeix a la recta real, genera una corba tancada (vegeu fig. 1) coneguda com a recta projectiva real, $\mathbb {R} P^{1}$ , que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts diferents en l'infinit:

${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$

Topologia T

Perquè el punt de l'infinit representi efectivament l'infinit real es defineix en ${\overline {\mathbb {R} }}$ la topologia ${\overline {T}}$ formada per tots els conjunts:

A, que són oberts de $\mathbb {R}$
B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i fitats) de $\mathbb {R}$

Els conjunts A són els oberts de ${\overline {\mathbb {R} }}$ que no contenen el $\infty$ , mentre que els conjunts B són els que sí el contenen.

Sigui $x_{n}\in \mathbb {R}$ una successió de nombres reals tals que $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ . Dins del conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

$\forall K>0\ \exists m\in \mathbb {N} |si\ n>m\Rightarrow x_{n}\notin [-K,K]$

Però aquesta mateixa condició implica en ${\overline {\mathbb {R} }}$ que:

$\forall B|\infty \in B\ \exists m\in N|si\ n>m\Rightarrow x_{n}\in B$

És a dir, que en ${\overline {\mathbb {R} }}$ s'escriu també $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ . No obstant això, només en ${\overline {\mathbb {R} }}$ es pot dir que la successió $x_{n}\,$ convergeix, ja que $\infty \notin \mathbb {R}$ .

En el pla complex

	Fig. cp1: projecció estereogràfica del pla complex estès sobre l'esfera de Riemann

	Fig. cp2: l'esfera de Riemann pot ser visualitzada com el pla complex embolicat al voltant d'una esfera

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex, $\mathbb {C} ^{1}$ , de manera que es transformi en una superfície tancada (vegeu fig. cp1 i fig. cp2), la recta projectiva complexa $\mathbb {C} P^{1}$ , també anomenada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es projecta la resta de punts de l'esfera sobre el pla complex D'aquesta manera, s'estableix una bijectivitat en la qual a cada punt de l'esfera en correspon un del pla complex. L'homòleg del punt des del qual projectem estereogràficament es converteix en el punt de l'infinit.

Rectes paral·leles en ℝ²

Igual que dues rectes assecants comparteixen un punt, dues rectes paral·leles comparteixen una direcció, per la qual cosa aquestes direccions també són conegudes com a punts impropis d'aquestes rectes en les quals es troben. Per exemple, en $\mathbb {R} ^{2}$ no és possible determinar amb exactitud la posició del punt de l'infinit mitjançant unes coordenades absolutes $(x,y)\,$ . Per aconseguir-ho, s'acudeix a les coordenades homogènies $(x',y',w)\,$ , en què $x'\,$ i $y'\,$ representen la direcció del vector director de la recta. Les anteriors coordenades absolutes $(x,y)\,$ venen donades per:

$(x,y)=({x' \over w},{y' \over w})$

El punt $(4,6)\,$ podria representar-se, per exemple, com $(8,12,2)\,$ o com $(2,3,{\tfrac {1}{2}})$ . La representació del punt de l'infinit s'obté igualant $w=0\,$ , així:

$(x',y',0)\,$

El punt de l'infinit de l'eix OX seria el $(1,0,0)\,$ , el $(2,0,0)\,$ , etc.

Vegeu també

Read other articles:

Puncak Broad

Puncak BroadFalchan KangriBroad Peak dari ConcordiaTitik tertinggiKetinggian8.051 m (26.414 ft)[1]Peringkat 12Puncak1.701 m (5.581 ft)[1]Masuk dalam daftarDelapan ribuanKoordinat35°48′42″N 76°33′54″E / 35.81167°N 76.56500°E / 35.81167; 76.56500Koordinat: 35°48′42″N 76°33′54″E / 35.81167°N 76.56500°E / 35.81167; 76.56500 PenamaanNama lokalبروڈ پیکcode: ur is deprecated ...

Putaran (sudut)

PutaranBesaranSudutSimboltr, pla or τKonversi 1 tr dalam ...... sama dengan ... radian 2π rad ≈ 6.28318531... rad miliradian 2000π mrad ≈ 6283.18531.. mrad derajat 360° gradian 400g Rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik pusat dengan rotasi penuh sama dengan satu putaran. Putaran, atau disebut jug...

The Marina Torch

Artikel ini membahas mengenai bangunan, struktur, infrastruktur, atau kawasan terencana yang sedang dibangun atau akan segera selesai. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat (tidak jarang perubahan yang besar) seiring dengan penyelesaiannya. The Marina Torch merupakan sebuah menara yang sedang dalam konstruksi di Dubai Marina, Dubai, Uni Emirat Arab. Pada April 2007, proyek ini terlambat 18 bulan lamanya dengan fondasi menara yang masih dipasang. Tanggal perkiraan selesainya adalah...

List of acts of the Parliament of the United Kingdom from 1924

Part of a series onBritish law Acts of Parliament of the United Kingdom Year 1801 1802 1803 1804 1805 1806 1807 1808 1809 1810 1811 1812 1813 1814 1815 1816 1817 1818 1819 1820 1821 1822 1823 1824 1825 1826 1827 1828 1829 1830 1831 1832 1833 1834 1835 1836 1837 1838 1839 1840 1841 1842 1843 1844 1845 1846 1847 1848 1849 1850 1851 1852 1853 1854 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 1870 1871 1872 1873 1874 1875 1876 1877 1878 ...

العلاقات الإسواتينية الموريشيوسية

العلاقات الإسواتينية الموريشيوسية إسواتيني موريشيوس إسواتيني موريشيوس تعديل مصدري - تعديل العلاقات الإسواتينية الموريشيوسية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين إسواتيني وموريشيوس.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعي...

Kazumasa Oda

Kazumasa OdaLahir20 September 1947 (umur 76)AsalKanazawa-ku, Yokohama, Prefektur Kanagawa, JepangGenreJ-PopFolk rockAdult ContemporaryPekerjaanpenyanyi dan komponisTahun aktif1970 – kiniArtis terkaitOff CourseSitus webSitus web resmi Kazumasa Oda (小田和正code: ja is deprecated , Oda Kazumasa, lahir 20 September 1947) adalah seorang penyanyi dan pencipta lagu berkebangsaan Jepang, yang juga dikenal sebagai pemimpin kelompok musik beraliran folk rock, yakni Off Course. Sebagai seora...

Discovery Digital Networks

American media organization Discovery Digital NetworksCompany typeSubsidiaryIndustryTechnologyFoundedJune 5, 2013; 10 years ago (2013-06-05)[1]San Francisco, California, U.S.DefunctDecember 2016; 7 years ago (2016-12)SuccessorGroup Nine MediaHeadquartersSan Francisco, California, U.S.Key peopleJim Louderback (Former CEO) Philip DeFranco (Senior Vice President)Number of employees75ParentDiscovery Communications[2][3]Websitewww.di...

Catanzaro Calcio 2011 2012-2013

Voce principale: Catanzaro Calcio 2011. Catanzaro Calcio 2011Stagione 2012-2013Sport calcio Squadra Catanzaro Allenatore Francesco Cozza, poi Salvo Fulvio D'Adderio All. in seconda Massimo D'Urso Presidente Giuseppe Cosentino Lega Pro Prima Divisione10ª Coppa ItaliaPrimo turno Coppa Italia Lega ProSecondo turno Maggiori presenzeCampionato: Fiore, Fioretti (28)Totale: Fiore, Fioretti (29) Miglior marcatoreCampionato: Fioretti (12)Totale: Fioretti (13) StadioNicola Ceravolo Abbonati2 060...

Narcisa de Jesús

SantoNarcisa de JesúsLaywomanLahirNarcisa de Jesús Martillo Morán(1832-10-29)29 Oktober 1832Nobol, Guayas, EcuadorMeninggal8 Desember 1869(1869-12-08) (umur 37)Lima, PeruDihormati diGereja KatolikBeatifikasi25 Oktober 1992, Saint Peter's Square, Vatican City oleh Pope John Paul IIKanonisasi12 Oktober 2008, Saint Peter's Square, Vatican City oleh Pope Benedict XVITempat ziarahSantuario de Santa Narcisa de Jesus Martillo Morán, EcuadorPesta30 Agustus Narcisa de Jesús Martillo Morán (...

Tropical Rainfall Measuring Mission

Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) adalah misi luar angkasa bersama antara NASA dan Japan Aerospace Exploration Agency (JAXA) dirancang untuk memantau dan mempelajari curah hujan tropis. Istilah ini mengacu pada kedua misi itu sendiri dan satelit yang menggunakan misi untuk mengumpulkan data. TRMM adalah bagian dari Misi NASA ke Planet Bumi, jangka panjang, upaya penelitian terkoordinasi untuk mempelajari bumi sebagai sistem global. Satelit ini diluncurkan pada tanggal 27 November 19...

2016年美國總統選舉

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 % 获提名人唐納·川普希拉莉·克林頓政党共和黨民主党家鄉州紐約州紐約州竞选搭档迈克·彭斯蒂姆·凱恩选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

2010 IAAF World Indoor Championships

International athletics championship event13th IAAF World Indoor ChampionshipsOfficial competition logoDates12 March–14 MarchHost cityDoha, QatarVenueAspire DomeEvents26Participation585 athletes from 146 nations← Valencia 2008 Istanbul 2012 → The 2010 IAAF World Indoor Championships in Athletics was held between 12 and 14 March at the Aspire Dome in Doha, Qatar. The championships was the first of six IAAF World Athletics Series events to take place in 2010. Bidding and organisat...

Yusuke Igawa

Japanese footballer Yusuke Igawa井川祐輔 Personal informationFull name Yusuke IgawaDate of birth (1982-10-30) October 30, 1982 (age 41)Place of birth Osaka, Osaka, JapanHeight 1.82 m (5 ft 11+1⁄2 in)Position(s) DefenderTeam informationCurrent team Lansbury (Head coach)Youth career1995–2000 Gamba OsakaSenior career*Years Team Apps (Gls)2001–2003 Gamba Osaka 1 (0)2003–2004 Sanfrecce Hiroshima 21 (1)2004–2005 Nagoya Grampus Eight 23 (0)2006–2017 Kawasaki ...

Larchant

LarchantBasilika Saint Mathurin di LarchantNegaraPrancisArondisemenFontainebleauKantonLa Chapelle-la-ReineAntarkomunetidak ada pada 2007Pemerintahan • Wali kota (2008-2014) Vincent Mevel • Populasi1695Kode INSEE/pos77244 / 2 Population sans doubles comptes: penghitungan tunggal penduduk di komune lain (e.g. mahasiswa dan personil militer). Larchant merupakan sebuah komune di departemen Seine-et-Marne di region Île-de-France di utara-tengah Prancis. Demografi Pada...

Overfitting

Artikel ini perlu dikembangkan dari artikel terkait di Wikipedia bahasa Inggris. (Juli 2019) klik [tampil] untuk melihat petunjuk sebelum menerjemahkan. Lihat versi terjemahan mesin dari artikel bahasa Inggris. Terjemahan mesin Google adalah titik awal yang berguna untuk terjemahan, tapi penerjemah harus merevisi kesalahan yang diperlukan dan meyakinkan bahwa hasil terjemahan tersebut akurat, bukan hanya salin-tempel teks hasil terjemahan mesin ke dalam Wikipedia bahasa Indonesia. Jangan...

Chevrolet Groove

This article is about the concept car. For the unrelated production model, see Baojun 510. Motor vehicle Chevrolet Groove (concept)OverviewManufacturerGeneral MotorsBody and chassisClassSubcompactBody style5-door wagon concept carLayoutFWDRelatedChevrolet BeatChevrolet TraxDaewoo KalosDaewoo MatizGMC GranitePowertrainEngine1.0 L dieselDimensionsWheelbase2550 mm The Chevrolet Groove is one of three small car concepts introduced on 4 April 2007 at the New York International Auto Show....

Rafi Pitts

Cet article est une ébauche concernant un acteur iranien et un réalisateur iranien. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les conventions filmographiques. Rafi PittsRafi Pitts en 2007BiographieNaissance 1967MachhadNationalité iranienneDomicile MachhadFormation Université de WestminsterActivités Acteur, producteur de cinéma, scénariste, réalisateur, monteurmodifier - modifier le code - modifier Wikidata Rafi Pitts, né en 1967 à Mashhad, est...

Ruissellement urbain

Ruissellement urbain s'écoulant dans un collecteur d'eaux pluviales. Article principal : Ruissellement. Le ruissellement urbain ou ruissèlement urbain est le ruissellement de l'eau de pluie dans les villes et zones urbanisées. Il est un facteur majeur d'inondations et de pollution de l'eau dans les communautés urbaines du monde entier. Les surfaces imperméabilisées, (routes, aires de stationnement et trottoirs) favorisent le ruissellement urbain. En effet, pendant les averses, ...

Tim Smith (ice hockey)

Canadian ice hockey player Ice hockey player Tim Smith Born (1981-07-21) July 21, 1981 (age 43)Rochfort Bridge, Alberta, CanadaHeight 5 ft 9 in (175 cm)Weight 185 lb (84 kg; 13 st 3 lb)Position CentreShot LeftPlayed for Columbia Inferno (ECHL)Manitoba Moose (AHL)EHC Freiburg (2Bun.)High1 (ALH)Lausanne HC (NLB)Tölzer Löwen (2Bun).NHL draft 272nd overall, 2000Vancouver CanucksPlaying career 2002–2011 Tim Smith (born July 21, 1981) is a Canadian fo...

Eritrea at the 2020 Summer Olympics

Sporting event delegationEritrea at the2020 Summer OlympicsIOC codeERINOCEritrean National Olympic Committeein Tokyo, JapanJuly 23, 2021 (2021-07-23) – August 8, 2021 (2021-08-08)Competitors13 in 3 sportsFlag bearers (opening)Nazret WelduGhirmai EfremFlag bearer (closing)Nazret WelduMedals Gold 0 Silver 0 Bronze 0 Total 0 Summer Olympics appearances (overview)2000200420082012201620202024Other related appearances Ethiopia (1956–1992) Eritr...

The Ark, London

Kedokan Agung, Kedokan Bunder, Indramayu

Botana pipi putih

Gunung Kemala Timur, Way Krui, Pesisir Barat

Carik kenangan

هيدروكربون عطري متعدد الحلقات

Torquay United F.C.

Mysore Urban Development Authority