El principi d'invariància de LaSalle (també conegut com el principi d'invariància,^[1] el principi de Barbaixin-Krassovski-LaSalle,^[2] o el principi de Krassovski-LaSalle) és un criteri per a l'estabilitat asimptòtica d'un sistema dinàmic autònom (possiblement no lineal).

Suposi's un sistema representat per

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$

on ${\displaystyle \mathbf {x} }$ és el vector de variables, amb

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$

Si es pot trobar una funció ${\displaystyle C^{1}}$(és a dir, diferenciable) ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ tal que

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ per tot ${\displaystyle \mathbf {x} }$ (semi-definida negativa),

llavors el conjunt de punts d'acumulació de qualsevol trajectòria es troba contingut dins de ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ és la unió de trajectòries completes contingudes completament en el conjunt ${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$.

Si, a més, es té que la funció ${\displaystyle V}$ és definida positiva, és a dir

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, per tot ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$

i si ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ no conté cap trajectòria del sistema excepte la trajectòria trivial ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$ per ${\displaystyle t\geq 0}$, llavors l'origen és asimptòticament estable.

A més, si ${\displaystyle V}$ és fitat radialment, és a dir, si

${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$, a mesura que ${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$

llavors l'origen és globalment asimptòticament estable.

Si

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, quan ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$

és vàlid per ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en algun veïnat ${\displaystyle D}$ de l'origen, i el conjunt

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\cap D}$

no conté cap trajectòria del sistema més enllà de la trajectòria ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$, llavors la versió local del principi d'invariància afirma que l'origen és localment asimptòticament estable.

Si ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ és una funció negativa, l'estabilitat asimptòtica global de l'origen és una conseqüència del segon teorema de Liapunov. El principi d'invariància dona un criteri per a l'estabilitat asimptòtica en el cas que ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ és només no positiva.

En aquesta secció s'aplicarà el principi d'invariància per establir l'estabilitat asimptòtica local d'un sistema simple, el pèndol amb fricció. Es pot modelar el sistema amb l'equació diferencial ^[1]

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$

on ${\displaystyle \theta }$ és l'angle que el pèndol fa amb la normal vertical, ${\displaystyle m}$ és la massa del pèndol, ${\displaystyle l}$ és la longitud del pèndol, ${\displaystyle k}$ és el coeficient de fricció, i ${\displaystyle g}$ és l'acceleració deguda a la gravetat.

Així mateix, això es pot escriure com el sistema d'equacions

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$

Utilitzant el principi d'invariància, es pot demostrar que totes les trajectòries que pertanyen a una bola d'una certa mida al voltant de l'origen ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$ convergeixen asimptòticament a l'origen. Es defineix ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ com

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$

Aquesta funció ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ és simplement l'energia escalada del sistema ^[2]. Clarament, ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ és definida positiva en la bola oberta de radi ${\displaystyle \pi }$ al voltant de l'origen. Calculant la derivada,

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$

S'observa que ${\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0}$. Si fos veritat que ${\displaystyle {\dot {V}}<0}$, es podria concloure que tota trajectòria s'apropa a l'origen pel segon teorema de Liapunov. Malauradament, ${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$ i ${\displaystyle {\dot {V}}}$ és només semi-definida negativa ja que ${\displaystyle x_{1}}$ pot no ser zero quan ${\displaystyle {\dot {V}}=0}$. Tanmateix, el conjunt

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$

que és simplement el conjunt

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$

no conté cap trajectòria del sistema, excepte de la trajectòria trivial x = 0. En efecte, si en algun instant de temps ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$, llavors com que ${\displaystyle x_{1}}$ ha de ser menor que ${\displaystyle \pi }$ lluny de l'origen, ${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$ i ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$. Com a resultat, la trajectòria no es romandrà en el conjunt ${\displaystyle S}$.

Se satisfan totes les condicions de la versió local del principi d'invariància i es pot concloure que tota trajectòria que comenci en algun veïnat de l'origen convergirà a l'origen a mesura que ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$.^[3]

1. REDIRECCIÓ Nom de la pàgina destinació

El resultat general va ser descobert independentment per Joseph P. LaSalle i per Nikolai Krassovski, que van publicar-lo l'any 1960 i 1959 respectivament. Així com LaSalle va ser el primer autor occidental a publicar el teorema general l'any 1960, un cas especial del teorema va ser anunciat l'any 1952 per Barbaixin i Krassovski, seguit per una publicació del resultat general l'any 1959.^[4]

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF Arxivat 2019-04-30 a Wayback Machine.)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krassovski (en russian) Doklady Akademii Nauk SSSR, 86, 1952, pàg. 453–456.
• Krassovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

• LaSalle; Lefschetz. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press, 1961. 
• Haddad; Chellaboina. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008. ISBN 9780691133294. 
• Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. 2a edició. Springer Verlag, 2003. ISBN 0-387-00177-8.