Un kernel smoother és una tècnica estadística per estimar una funció de valor real ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }$ com a mitjana ponderada de les dades observades veïnes. El pes es defineix pel nucli, de manera que els punts més propers reben pes més alts. La funció estimada és suau i el nivell de suavitat el defineix un únic paràmetre. El suavització del nucli és un tipus de mitjana mòbil ponderada.^[1][2]

Si ${\displaystyle K_{h_{\lambda }}(X_{0},X)}$ és un nucli definit per

${\displaystyle K_{h_{\lambda }}(X_{0},X)=D\left({\frac {\left\|X-X_{0}\right\|}{h_{\lambda }(X_{0})}}\right)}$

on:

• és la norma euclidiana
• és un paràmetre (radi del nucli)
• D (t ) és típicament una funció de valor real positiu, el valor de la qual és decreixent (o no augmenta) per a la distància creixent entre X i X ₀.

Els nuclis populars utilitzats per allisar inclouen els nuclis parabòlics (Epanechnikov), Tricube i gaussians.

Sigui ${\displaystyle Y(X):\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }$ una funció contínua de X. Per cadascú ${\displaystyle X_{0}\in \mathbb {R} ^{p}}$, la mitjana ponderada pel nucli de Nadaraya-Watson (estimació suau Y (X )) es defineix per

${\displaystyle {\hat {Y}}(X_{0})={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}{K_{h_{\lambda }}(X_{0},X_{i})Y(X_{i})}}{\sum \limits _{i=1}^{N}{K_{h_{\lambda }}(X_{0},X_{i})}}}}$

on:

• N és el nombre de punts observats
• Y (X _i ) són les observacions en X _i punts.

A les seccions següents, es descriuen alguns casos particulars de suavitzadors del nucli.^[3]

El nucli gaussià és un dels nuclis més utilitzats, i s'expressa amb l'equació següent.

${\displaystyle K(x^{*},x_{i})=\exp \left(-{\frac {(x^{*}-x_{i})^{2}}{2b^{2}}}\right)}$

Aquí, b és l'escala de longitud per a l'espai d'entrada.

La idea del veí més proper més suau és la següent. Per a cada punt X ₀, pren els m veïns més propers i estima el valor de Y (X ₀ ) fent la mitjana dels valors d'aquests veïns.Formalment, ${\displaystyle h_{m}(X_{0})=\left\|X_{0}-X_{[m]}\right\|}$, on ${\displaystyle X_{[m]}}$ és la m- èma més propera a X ₀ veí, i

${\displaystyle D(t)={\begin{cases}1/m&{\text{if }}|t|\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Exemple:

En aquest exemple, X és unidimensional. Per cada X ₀, el ${\displaystyle {\hat {Y}}(X_{0})}$ és un valor mitjà de 16 més proper a X ₀ punts (indicat amb vermell). El resultat no és prou suau.

La idea del suau mitjà del nucli és la següent. Per a cada punt de dades X ₀, trieu una mida de distància constant λ (radi del nucli o amplada de la finestra per a p = 1) i calculeu una mitjana ponderada per a tots els punts de dades que estan més a prop de ${\displaystyle \lambda }$ a X ₀ (com més a prop de X ₀ punts obtenen pesos més alts).

Formalment, ${\displaystyle h_{\lambda }(X_{0})=\lambda ={\text{constant}},}$ i D (t ) és un dels nuclis populars.^[4]