Nodes de Txebixov

En anàlisi numèrica, els nodes de Txebixev són una distribució de nodes que permeten fer una interpolació més estable numèricament. Entre altres avantatges, aquests nodes permeten interpolar amb error proper a la màquina funcions que pateixen el fenomen de Runge.^[1]

Introducció

Els nodes equiespaiats tenen desavantatges, entre d'altres que en els extrems de l'interval d'interpolació l'error és molt acusat. Per això cal utilitzar distribucions de nodes més condensades en els extrems, que permeten solucionar aquest problema. La manera de trobar aquests nodes està estretament relacionada amb els polinomis de Txebixev de primer i segon tipus.

Polinomis de Txebixev

Definim el polinomi de Txebixev de grau n de primer tipus com:

$\,T_{n}(x)=\cos(n\arccos(x))$

Per altra banda definim el polinomi de Txebixev de grau n de segon tipus com:

$U_{n}(x)={\frac {\sin[(n+1)\arccos(x)]}{\sin(\arccos x)}}$

Definició

Hi ha dues classes de nodes de Txebixev diferents, però que es defineixen de forma similar.

El primer cas és el següent:

Definim el conjunt de n+1 nodes d'interpolació de Txebixev com les abscisses de les arrels del polinomi n+1 de Txebixev de primer tipus. És a dir:

$x_{j}=-\cos {\frac {(2j+1)\pi }{2(n+1)}}\quad j=0,1,\ldots ,n$

Més concretament, aquests són els anomenats nodes de Gauss-Txebixev.

Demostració

Tenim el polinomi de Txebixev de primer tipus

$\,T_{n+1}(x)=\cos[(n+1)\arccos x]$

i l'igualem a zero per trobar les arrels:

$\cos[(n+1)\arccos x]=0\quad \Rightarrow \quad (n+1)\arccos x=(2j+1)\pi ,\quad j=0,1,\ldots ,n$

Acabant d'aïllar aquesta expressió:

$x=\cos {\frac {(2j+1)\pi }{2(n+1)}},\quad j=0,1,\ldots ,n$

Com que volem que el primer node sigui el més proper a -1 i l'últim el més proper a 1, afegim un signe menys i obtenim:

$x_{j}=-\cos {\frac {(2j+1)\pi }{2(n+1)}},\quad j=0,1,\ldots ,n$

El segon cas és:

Definim el conjunt de n+1 nodes d'interpolació de Txebixev com les abscisses dels zeros del polinomi de Txebixev de segon tipus de grau n-1. És a dir:

$x_{j}=-\cos \left({\frac {\pi j}{n}}\right)\quad j=0,1,\ldots ,n$

Més concretament, aquests són els anomenats nodes de Gauss-Lobatto-Txebixev.

Demostració

Tenim el n-1 polinomi de Txebixev de segon tipus

$\,U_{n-1}(x)={\frac {\sin(n\arccos x)}{\sin(\arccos x)}}$

i l'igualem a zero per trobar les arrels:

${\frac {\sin(n\arccos x)}{\sin(\arccos x)}}=0\quad \Rightarrow \quad n\arccos x=\pi j,\quad j=0,1,\ldots ,n$

Acabant d'aïllar aquesta expressió:

$x=\cos \left({\frac {\pi j}{n}}\right)\quad j=0,1,\ldots ,n$

Com que volem que el primer node sigui igual a -1 i l'últim a 1, afegim un signe menys i obtenim:

$x_{j}=-\cos \left({\frac {\pi j}{n}}\right)\quad j=0,1,\ldots ,n$

S'ha comentat al principi que ambdós conjunts de nodes estan relacionats. Fixem-nos, doncs, què passa si definim els nodes de Txebixeb de primer tipus com:

$x_{j}=-\cos \left({\frac {\pi j}{n}}\right),\quad j={\frac {1}{2}},\,\ldots \,,\,{\frac {1}{2}}+i\,,\,\ldots \,,n-{\frac {1}{2}}.$

La qual cosa queda com:

$x_{i}=-\cos \left({\frac {\pi (i+{\frac {1}{2}})}{n}}\right)=-\cos \left({\frac {\pi (2i+1)}{2n}}\right),\quad i=0,\ldots ,n-1.$

Que de fet, és el conjunt de n (en lloc de n+1) nodes de primera classe tal com els hem definit abans.

Vegeu també

Notes

↑ Fink, Kurtis D., and John H. Mathews. Numerical Methods using MATLAB. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999. 3rd ed. pp. 236-238.

Referències

Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

Bibliografia

Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 503–512, ISBN 0-534-39200-8.

Read other articles:

Wikipedia bahasa Yunani

Wikipedia bahasa YunaniTangkapan layarJenis situsProyek ensiklopedia internetBahasaBahasa YunaniMarkasMiami, FloridaPemilikWikimedia FoundationSitus webhttp://el.wikipedia.org/KomersialNoDaftar akunOptionalLisensi kontenCreative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0 Tanpa AdaptasiLisensi Dokumentasi Bebas GNU Portal InternetSunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Wikipedia bahasa Yunani, pengucapan Βικιπαίδεια, adalah Wikipedia edisi bahasa Y...

Prosper, Texas

Town in Texas, United StatesProsper, TexasTownMotto(s): A Place Where Everyone Matters and Small Town, Big HeartLocation of Prosper in Collin County, TexasCoordinates: 33°14′18″N 96°47′27″W / 33.23833°N 96.79083°W / 33.23833; -96.79083Country United StatesState TexasCountiesCollin, DentonGovernment • TypeCouncil-Manager • Town councilDavid F. Bristol, MayorMarcus RayCraig AndresAmy BartleyChris KernJeff HodgesCharles CottenArea...

Dominican Republic at the 2008 Summer Olympics

Sporting event delegationDominican Republic at the2008 Summer OlympicsFlag of the Dominican RepublicIOC codeDOMNOCDominican Republic Olympic CommitteeWebsitewww.colimdo.org (in Spanish)in BeijingCompetitors25 in 8 sportsFlag bearers Félix Sanchez (opening)Manuel Félix Díaz (closing)MedalsRanked 46th Gold 1 Silver 1 Bronze 0 Total 2 Summer Olympics appearances (overview)1964196819721976198019841988199219962000200420082012201620202024 The Dominican Republic competed in the 2008 Sum...

Atlanta Motor Speedway

Atlanta Motor SpeedwayTracciato di Atlanta Motor SpeedwayLocalizzazioneStato Stati Uniti LocalitàHampton, Contea di Henry, Georgia CaratteristicheLunghezza2048 m Inaugurazione1960 CategorieNASCAR Sprint Cup Series Mappa di localizzazione Modifica dati su Wikidata · ManualeCoordinate: 33°23′00.58″N 84°19′04.28″W / 33.383494°N 84.317856°W33.383494; -84.317856 Vista dell'Atlanta Motor Speedway. L'Atlanta Motor Speedway, in passato, dal 1960 al 1990 Atlanta...

Adrian Griffin

American basketball player and coach (born 1974) For the Australian drummer, see Adrian Griffin (drummer). Adrian GriffinGriffin in 2007Personal informationBorn (1974-07-04) July 4, 1974 (age 49)Wichita, Kansas, U.S.Listed height6 ft 5 in (1.96 m)Listed weight230 lb (104 kg)Career informationHigh schoolWichita East (Wichita, Kansas)CollegeSeton Hall (1992–1996)NBA draft1996: undraftedPlaying career1996–2008PositionSmall forward / shooting guardNumber44, 7Coac...

منتخب باكستان لسباعيات الرغبي

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (أغسطس 2019) منتخب باكستان لسباعيات الرغبي بلد الرياضة باكستان أكبر فوز أكبر خسارة تعدي�...

Міністерство оборони України

Міністерство оборони України (Міноборони) Емблема Міністерства оборони та Прапор Міністерства оборони Будівля Міністерства оборони у КиєвіЗагальна інформаціяКраїна УкраїнаДата створення 24 серпня 1991Попередні відомства Міністерство оборони СРСР Народний комісарі...

豪栄道豪太郎

豪栄道豪太郎場所入りする豪栄道基礎情報四股名澤井豪太郎→豪栄道豪太郎本名澤井豪太郎愛称ゴウタロウ、豪ちゃん、GAD[1][2]生年月日 (1986-04-06) 1986年4月6日（38歳）出身大阪府寝屋川市身長 183cm体重 160kgBMI 47.26所属部屋境川部屋得意技右四つ・出し投げ・切り返し・外掛け・首投げ・右下手投げ成績現在の番付引退最高位東大関生涯戦歴 696勝493敗...

Florence Horsbrugh, Baroness Horsbrugh

British Conservative politician (1889–1969) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Florence Horsbrugh, Baroness Horsbrugh – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2021) (Learn how and when to remove this message) The Right HonourableThe Baroness HorsbrughGBE PCHorsbrugh in April 1945...

Tin sinh học

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. Đây là một trong loạt bài vềHóa sinh Các nét quan trọng Phân tử sinh học Trao đổi chất Mục lục Nét chính Lịch sử và chủ đề Lịch sử Hóa sinh Sinh học tế bào Tin s...

Thirteen Lives

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Thirteen LivesSutradaraRon HowardProduser Brian Grazer Ron Howard Karen Lunder William M. Connor P.J van Sandwijk Gabrielle Tana SkenarioWilliam NicholsonCerita Don Macpherson William Nicholson[1] Pemeran Viggo Mortensen Colin Farrell Joel Edg...

Jared Ingersoll

American Founding Father and politician Jared IngersollUnited States Attorney for the Eastern District of PennsylvaniaIn office1815–1822PresidentJames MadisonJames MonroePreceded byAlexander DallasSucceeded byGeorge M. DallasAttorney General of PennsylvaniaIn officeDecember 13, 1811 – December 21, 1816GovernorSimon SnyderPreceded byRichard RushSucceeded byAmos EllmakerIn officeAugust 20, 1791 – May 10, 1800GovernorThomas MifflinThomas McKeanPreceded byWilliam BradfordS...

Emirates Mars Mission

Questa voce o sezione tratta di una missione astronautica in corso. Le informazioni possono pertanto cambiare rapidamente con il progredire degli eventi. Se vuoi scrivere un articolo giornalistico sull'argomento, puoi farlo su Wikinotizie. Non aggiungere speculazioni alla voce. Emirates Mars Missionمشروع الإمارات لاستكشاف المريخDati della missioneOperatore Centro spaziale Mohammed bin Rashid Tipo di missioneOrbiter NSSDC ID2020-047A SCN45918 DestinazioneMarte Nome ...

Thomas Bartholin

Thomas Bartholin BiografiKelahiran20 Oktober 1616 Kopenhagen Kematian4 Desember 1680 (64 tahun)Kopenhagen Data pribadiAgamaGereja Lutheran PendidikanUniversitas Kopenhagen Universitas Padua Universitas Basel KegiatanPenasihat doktoralFranciscus Sylvius (en) SpesialisasiKedokteran dan anatomi Pekerjaandokter Bekerja diUniversitas Kopenhagen Murid dariGiovanni Domenico Sala (en) KeluargaAnakCaspar Bartholin, Thomas Bartholin (en) AyahCaspar Bartholin SaudaraRasmus Bartholin (en) Thomas Bart...

Guangxi Zhuang Autonomous Regional Committee of the Chinese Communist Party

Guangxi Zhuang Autonomous Regional Committee of the Chinese Communist Party中国共产党广西壮族自治区委员会Cunghgoz Gungcanjdangj Gvangjsih Bouxcuengh Swcigih VeijyenzveiOverviewTypeHighest decision-making organ when Guangxi Zhuang Autonomous Regional Congress is not in session.Elected byGuangxi Zhuang Autonomous Regional CongressLength of termFive yearsTerm limitsNoneFirst convocation22 September 1949LeadershipSecretaryLiu NingDeputy SecretaryLan Tianli (Government Ch...

Alexander Roslin

Questa voce o sezione sull'argomento pittori svedesi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Alexander Roslin, Autoritratto, 1790, Malmö, Konstmuseum Alexander Roslin (Malmö, 15 luglio 1718 – Parigi, 5 luglio 1793) è stato un pittore svedese, noto soprattutto come ritrattista. Indice 1 Biografia 1.1 I primi anni e l'inizio della carriera 1.2...

كباب باذنجان

كباب باذنجانمعلومات عامةالمنشأ تركيا بلد المطبخ مطبخ تركي النوع كباب المكونات الرئيسية باذنجان لحم تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات كباب باذنجان كَبَاب باذنجان أو باتلجان[1] كِباب هو كباب تركي (طبق لحم) يُحضر وفقًا للتقاليد المختلفة. أحد أنواعها يتكون من قطع البا...

مقبرة ذات ممرات

مقبرة بسيطة ذات ممرات في كارومور بجوار سليجو بأيرلندا إن المقبرة ذات الممرات (في بعض الأحيان تكون متصلة) أو المقابر ذات الممرات تحتوي على ممر ضيق مصنوع من الأحجار الكبيرة وواحدة أو أكثر من غرف الدفن المغطاة تحت الأرض أو بالأحجار. وكان عادةً يتم بناء المقابر على شكل ممرات با�...

字幕

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: 字幕 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2020年1月) 字幕の例（英語によるクローズド・キャプション）字...

4月9日

2024年 4月（卯月）日月火水木金土 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日付の一覧各月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4月9日（しがつここのか）は、グレゴリオ暦で年始から99日目（閏年では100日目）にあたり、年末まではあと266日ある。できごとイベリア半島に残留したムスリムであるモリスコ追放の勅令(1609) アポマトックス・コートハウスの戦�...

Kenichi Kaga

Prive

Masashi Taniguchi

Saint-Germain-en-Laye

Supreme Court of Justice of the Nation

Jesper Mikkelsen

Aussie Pickers

1914–15 Svenska Serien

Lee Il-hwa

2017 Pittsburgh Riverhounds season

We've Got Tonight (Kenny Rogers album)

Anatolia Eyalet