La llei de Morrie és una identitat trigonomètrica singular. El seu nom s'atribueix al físic Richard Feynman, que solia referir-se a aquesta identitat amb aquest nom. Feynman va triar aquest nom perquè la va aprendre durant la seva infantesa a través d'un noi anomenat Morrie Jacob i la va recordar tota la seva vida.^[1]

${\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}$

És un cas especial de la identitat, més general,

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

amb n = 3 i α = 20° i el fet que

${\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,}$

ja que

${\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}$

També existeix una identitat similar amb la funció sinus:

${\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}$

A més, si es divideix la segona identitat per la primera, s'obté:

${\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}$

Consideri's l'enneàgon regular ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ amb costat de longitud ${\displaystyle 1}$ i sigui ${\displaystyle M}$ el punt mig del costat ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle L}$ el punt mig de ${\displaystyle BF}$ i ${\displaystyle J}$ el punt mig del costat ${\displaystyle BD}$. Els angles interiors de l'enneàgon són tots de ${\displaystyle 140^{\circ }}$ i a més ${\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}$, ${\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}$ i ${\displaystyle \alpha =\angle CBD=20^{\circ }}$ (vegeu la figura). Aplicant la definició del cosinus en els triangles rectangles ${\displaystyle \triangle BFM}$, ${\displaystyle \triangle BDL}$ i ${\displaystyle \triangle BCJ}$ s'obté una demostració de la llei de Morrie:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}}$

Recordeu la fórmula de l'angle doble per a la funció sinus

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}$

Si s'aïlla ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}$

Segueix:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{aligned}}}$

Si es multipliquen totes aquestes expressions juntes s'obté:

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.}$

Els numeradors i denominadors del mig s'anul·len deixant només el primer denominador, una potència de 2 i el numerador final. Noti's que hi ha n termes en tots dos costats de l'expressió. És a dir,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},}$

que és equivalent a la generalització de la llei de Morrie.

• Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, ISBN 9780192545466, pp. 79-83
• Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998

• Weisstein, Eric W., «Morrie's Law» a MathWorld (en anglès).