El seu veritable nom era Jack Weinstein, i va néixer a Cleveland (Ohio). Weston usualment va interpretar papers còmics en pel·lícules com Cactus Flower (Flor de cactus) i Please Don't Eat the Daisies (No us mengeules margarides), però també va tenir papers seriosos, com ara el del criminal que, al costat d'Alan Arkin i Richard Crenna, intenta terroritzar i robar a una cega Audrey Hepburn en la pel·lícula del 1967 Wait Until Dark (Sola en la foscor).
El 1981, Weston va actuar a Broadway en la comèdia de Woody AllenThe Floating Lightbulb, per la qual va ser nominat al Premi Tony al millor actor.[2] Altres actuacions teatrals van ser Bells Are Ringing (amb Judy Holliday), The Ritz, One Night Stand, i Califòrnia Suite, de Neil Simon.
Weston va estar casat dues vegades, primer amb l'actriu Marge Redmond, amb la qual a vegades va actuar, com en l'episodi del 1963 de The Twilight Zone, "The Bard", en el qual també participava un jove Burt Reynolds. Redmond i Weston es van divorciar, i posteriorment es va casar amb Laurie Gilkes. Aquest matrimoni va durar fins a la mort de Weston, a causa d'un limfoma, a Nova York.
El paper televisiu més famós de Weston probablement va ser en la comèdia d'embolics de 1961-1962 The Hathaways (ABC, produïda per Screen Gems), en la qual ell i Peggy Cass adoptaven un trio de ximpanzés (The Marquis Chimps). També va ser convidat per al capítol 38 de la segona temporada, "Fetillada", com a Louis, germà de Gladys Kravitz, com un gran violinista amb un gran trauma del qual Samantha l'ajudava a lliurar-se.
The Twilight Zone en els episodis: The Monsters Are Due on Maple Street i The Bard
