A matemàtiques, les Identitats de Green són un conjunt de desigualtats en càlcul vectorial.^[1] Anomenades així en honor del matemàtic George Green, el mateix que va descobrir el Teorema de Green.

Aquesta identitat es deriva del Teorema de la divergència aplicat a un camp vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi }$.

Si ${\displaystyle \phi }$ és una funció contínuament diferenciable de classe C ² i ${\displaystyle \psi }$ és una altra funció contínuament diferenciable, però de classe C ¹ en una regió U , aleshores:

${\displaystyle \int _{U}\psi \Delta \varphi \,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot n\right)\,dS-\int _{U}\left(\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV,}$

on ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ és l'operador Laplaciana.

Si ${\displaystyle \phi }$ i ${\displaystyle \psi }$ són funcions contínuament diferenciables de classe C ² les dues a U , aleshores:

${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)\,dS.}$

La tercera identitat de Green s'obté a partir de la segona particularitzant la funció ${\displaystyle \phi (y)}$ a:

${\displaystyle \varphi (i)={\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}}$

En aquest cas, el·laplacià d'${\displaystyle \phi (y)}$ és:

${\displaystyle \Delta \varphi (i)=-4\pi \delta \left(\mathbf {x} -i\right)}$

La tercera identitat de Green diu que, si ${\displaystyle \psi }$ és una funció contínuament diferenciable de classe C ² a U , aleshores:

${\displaystyle \oint _{\partial U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}{\frac {\partial }{\partial n}}\psi (\mathbf {i} )-\psi (\mathbf {i} ){\frac {\partial }{\partial n_{\mathbf {i} }}}{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}\right]\,dS_{\mathbf {i} }-\int _{U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}\Delta \psi (\mathbf {i} )\right]\,dV_{\mathbf {i} }=k.}$

On:

${\displaystyle k=4\pi \psi (x)}$ si ${\displaystyle x\in Int(U)}$,

${\displaystyle k=2\pi \psi (x)}$ si ${\displaystyle x\in \partial U}$ i té un pla tangent a ${\displaystyle x}$

${\displaystyle k=0}$ a la resta de casos.

• Funció de Green