Graf simple no dirigit, amb 6 vèrtexs i 7 arestes.
A continuació es detallen els principals conceptes de la teoria de grafs. Per a les definicions formals o més detallades, podeu adreçar-vos a l'article principal corresponent o bé a l'article Termes de teoria de grafs.
Tots els exemples estan basats en la imatge de la dreta.
Una aresta o arc és una relació matemàtica que connecta dos vèrtexs. Una aresta dirigida és una aresta d'un digraf i té una adreça associada amb si, és a dir, posseeix un vèrtex inicial i un vèrtex final. Una aresta no dirigida és una on no es distingeix un vèrtex inicial ni un final.
B
Bosc
Un bosc és un conjunt d'arbres, o de forma equivalent, un bosc és un graf acíclic.
Bucle
Un bucle o loop en un graf o digrafs una aresta que connecta al mateix vèrtex amb si mateix.
Cerca en profunditat
La cerca en profunditat o DFS (Depth First Search) és un algorisme que permet recórrer tots els vèrtexs d'un graf de manera ordenada, però no uniforme.
C
Camí
Un camí és una successió de vèrtexs tal que de cada un dels seus vèrtexs hi ha una aresta cap al vèrtex successor. Un camí simple és aquell en què totes les arestes del camí són diferents.
Dos camins són aliens o independents si no tenen cap vèrtex en comú excepte el primer i l'últim.
La longitud d'un camí és el nombre d'arestes que fa servir aquest camí, comptant arestes recorregudes diverses vegades el mateix nombre de vegades que les recorrem. En l'exemple, (1, 2, 5, 1, 2, 3) és un camí amb longitud 5, i (5, 2, 1) és un camí simple de longitud 2 ..
Camí eulerià
Un camí eulerià en un graf és un camí que fa servir cada aresta una i només una vegada. Si existeix tal camí diem que el graf és travessar . Aquesta definició és dual a la d'camí hamiltonià.
Camí hamiltonià
Hi ha un concepte dual de camí/cicle eulerià. Un camí hamiltonià en un graf és un camí que "visita" cada vèrtex una i només una vegada, i un cicle hamiltonià és un cicle que visita cada vèrtex una i només una vegada.
L'exemple de la imatge té un camí hamiltonià.
Cicle
Un Cicle (o circuit) és un camí que comença i acaba en el mateix vèrtex. Els cicles de longitud 1 són els bucles. En l'exemple, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) és un cicle de longitud 6.
Un cicle simple és un cicle que té com a longitud almenys 3 i en què el vèrtex del començament només apareix una vegada més i com a vèrtex final, i els altres només apareixen una vegada. En el graf de dalt (1, 5, 2, 1) és un cicle simple.
Cicle eulerià
Un cicle eulerià en un graf és un cicle que utilitza cada aresta una i només una vegada.
Cicle hamiltonià
Un cicle hamiltonià en un graf és un cicle que visita cada vèrtex una i només una vegada.
Clique
Un clique en un graf és un conjunt de vèrtexs tal que per a tot parell de vèrtexs, hi ha una aresta que les connecta. En l'exemple, els vèrtexs 1, 2 i 5 formen un clique de mida 3.
Cobertura de vèrtexs
La cobertura de vèrtexs, covering o recobriment de vèrtexs d'un graf és un conjunt de vèrtexs els elements són adjacents a tots els altres vèrtexs del graf.
Coloració de grafs
La coloració de grafs és potser el problema NP-complet més famós de la teoria de grafs, i consisteix a assignar diferents colors o marques als vèrtexs d'un graf, de manera que cap parell de vèrtexs adjacents comparteixin el mateix color o marca.
Component fortament connex
Un component fortament connex és un graf tal que per a cada parell de vèrtexs, hi ha un camí d'un cap a l'altre, i viceversa. Els components fortament connexos d'un graf dirigit són els seus subgrafs màxims fortament connexos. Aquests subgrafs formen una partició del graf.
Un conjunt independent en un graf és un conjunt de vèrtexs tal que cap és adjacent a un altre. En l'exemple, els vèrtexs 1,3, i 6 formen un conjunt tal els 3,5, i 6 formen un altre conjunt independent.
d'un vèrtex és el nombre d'arestes que hi incideixen. Per a un graf amb bucles, aquests són comptats per dos. En l'exemple, els vèrtexs 1 i 3 tenen grau 2, els vèrtexs 2, 4 i 5, grau 3, i el vèrtex 6, grau 1.
En un dígraf, podem distingir el grau sortint (el nombre d'arestes que deixen el vèrtex) i el grau entrant (el nombre d'arestes que entren en un vèrtex). El grau d'un vèrtex seria la suma dels dos nombres.
és qualsevol graf els vèrtexs poden ser dividits en dos conjunts, tal que no hi hagi arestes entre els vèrtexs del mateix conjunt. Es veu que un graf és bipartit si no hi ha cicles de longitud senar. Vegeu també graf bipartit complet.
un graf k -partit o graf k -colorable és un graf amb els vèrtexs es pot fer una partició en k subconjunts disjunts tal que no hi hagi arestes entre vèrtexs d'aquest subconjunt. Un graf 2-partit és el mateix que un graf bipartit.
un graf k -partit es diu semiregular si cada partició té un grau uniforme.
és un graf simple en el qual cada vèrtex és adjacent a qualsevol tot altre vèrtex. El de l'exemple no és complet. El graf complet en n vèrtexs es denota sovint per Kn. Té n (n -1)/2 arestes (corresponent a totes les possibles eleccions de parells de vèrtexs).
Graf connex
Si és possible formar un camí des de qualsevol vèrtex a qualsevol altre en el graf, diem que el graf és connex. Si és possible fer-ho fins i tot després de treure k -1 vèrtexs, diem que el graf és k -connex .
graf k -connex
si i només si conté k camins independents entre qualssevol dos vèrtexs. Teorema de Menger El graf exemple és connex (i per tant 1-connex), però no és 2-connex.
Graf dirigit
És un conjunt de vèrtexs V i un conjunt d'arestes E tal que per a cada aresta pertanyent al conjunt d'arestes E s'associa amb dos vèrtexs en forma ordenada. Vegeu digraf.
El graf nul: és el graf els conjunts d'arestes i de vèrtexs són buits.
és un que pot ser dibuixat en el pla sense que intersequen qualssevol dues arestes. El de l'exemple ho és, el graf complet en n vèrtexs, per n > 4, no és pla.
graf ponderat
associa un valor o pes a cada aresta al graf. El pes d'un camí en un graf amb pesos és la suma dels pesos de totes les arestes travessades.
Una matriu d'adjacència és una matriu d'n x n que permet representar un graf o digraf finit, on cada valor en la posició (i, j) representa el nombre d'arestes des del vèrtex i-èsim cap al j-èsim.
Un subarbre d'un graf G és un subgraf que és a més un arbre.
Subgraf
Un subgraf d'un graf G és un graf que utilitzen jocs de vèrtexs és un subconjunt del de G , el conjunt d'arestes és un subconjunt del conjunt de les arestes de G , i tal que l'aplicació w és la restricció de l'aplicació de G .
Subgraf d'expansió
Un subgraf d'expansió d'un graf G és un subgraf amb el mateix conjunt de vèrtexs que G . Un arbre expansió és un subgraf expansió que és un arbre. Cada graf té un arbre d'expansió.
T
Teoria espectral
La teoria espectral és la que estudia les relacions entre les propietats de la matriu d'adjacència i les del seu graf.
Torneig
Un torneig és un graf dirigit complet, simple, no generalitzat, no degenerat i sense Digón.
Un vèrtex o node és la unitat fonamental de la qual estan formats els grafs.
Veïnatge
Dos vèrtexs són veïns , adjacents o incidents si hi ha una aresta entre ells. En l'exemple, el vèrtex 1 té dos veïns: el vèrtex 2 i el 5. Per a un graf simple , el nombre de veïns d'un vèrtex és igual al seu grau .
