Barnett fou el primer professor de botànica al King's College de Londres des del 1831 fins al 1835. Escrigué diverses obres sobre botànica, incloent-hi Outlines of Botany (1835) i llustrations of Useful Plants employed in the Arts and Medicine (publicada pòstumament i il·lustrada per la seva germana A. M. Burnett), així com articles sobre zoologia, com per exemple Illustrations of the Manupeda or apes and their allies (1828).