Fou el tercer fill de Thomas Street, advocat, amb la seva segona esposa, Mary Anne Millington. George començar l'escola a Mitcham el 1830, i més tard es va col·legiar a l'escola Camberwell, que va deixar el 1839. Durant uns mesos va treballar en el negoci del seu pare a Philpot Lane, però quan aquest va morir se'n va anar a viure amb la seva mare i la seva germana a Exeter. Allà va començar a interessar-se per l'arquitectura, i el 1841 la seva mare li va aconseguir una plaça com a aprenent al despatx de Sir Owen Carter a Winchester. Posteriorment va treballar durant sota les ordres de Sir George Gilbert Scott a Londres.
Street es va casar en dues ocasions, primer el 17 de juny de 1852 amb Mariquita, la segona filla de Robert Proctor, que va morir el 1874, i en segon lloc l'11 de gener de 1876 amb Jessie, segona filla de William Holland, qui va morir en el mateix any. L'arquitecte va morir el 18 de desembre de 1881 i va ser enterrat el 29 de desembre de 1881 a la nau de l'Abadia de Westminster.