En electrodinàmica, la fórmula de Larmor s'utilitza per calcular la potència total irradiada per una càrrega puntual no relativista a mesura que s'accelera. Va ser derivat per primera vegada per JJ Larmor el 1897, en el context de la teoria ondulatòria de la llum.^[1]

Quan qualsevol partícula carregada (com un electró, un protó o un ió) accelera, l'energia s'irradia en forma d'ones electromagnètiques. Per a una partícula la velocitat de la qual és petita en relació a la velocitat de la llum (és a dir, no relativista), la potència total que irradia la partícula (quan es considera com una càrrega puntual) es pot calcular mitjançant la fórmula de Larmor: ^[2]

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}}$$$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}}$$on ${\displaystyle {\dot {v}}}$ o ${\displaystyle a}$ és l'acceleració adequada, ${\displaystyle q}$ és el càrrec, i ${\displaystyle c}$ és la velocitat de la llum. Una generalització relativista ve donada pels potencials de Liénard-Wiechert.

En qualsevol dels sistemes d'unitats, la potència radiada per un sol electró es pot expressar en termes de radi d'electrons clàssics i massa d'electrons com:$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$Una implicació és que un electró que orbita al voltant d'un nucli, com en el model de Bohr, hauria de perdre energia, caure al nucli i l'àtom hauria d'ensorrar-se. Aquest trencaclosques no es va resoldre fins que es va introduir la teoria quàntica.^[3]

Primer hem de trobar la forma dels camps elèctric i magnètic. Els camps es poden escriure (per a una derivació més completa vegeu potencial de Liénard-Wiechert) ^[4]$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\text{ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\text{ret}}}$$i

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}$$on ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ és la velocitat de la càrrega dividida per ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ és l'acceleració de la càrrega dividida per c, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ és un vector unitari en el ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ direcció, ${\displaystyle R}$ és la magnitud de ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ és la ubicació del càrrec i ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$. Els termes de la dreta s'avaluen en el moment retardat ${\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c}$.

Generalització relativista

Forma covariant

Escrita en termes d'impuls, p, la fórmula de Larmor no relativista és (en unitats CGS)$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$$Es pot demostrar que la potència P és invariant de Lorentz. Per tant, qualsevol generalització relativista de la fórmula de Larmor ha de relacionar P amb alguna altra quantitat invariant de Lorentz. La quantitat ${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$ que apareix a la fórmula no relativista suggereix que la fórmula relativistament correcta hauria d'incloure l'escalar de Lorentz que es troba prenent el producte interior de l'acceleració de quatre a^μ = dp^μ/dτ amb si mateix [aquí p^μ = (γmc, γmv) és el quatre-impuls.