Fórmula d'inversió de Möbius

En matemàtiques, la fórmula clàssica d'inversió de Möbius és una relació entre parells de funcions aritmètiques, definides cadascuna de l' altra per sumes sobre divisors. Va ser introduït a la teoria de nombres el 1832 per August Ferdinand Möbius.^[1]

Una gran generalització d'aquesta fórmula s'aplica a la suma sobre un conjunt arbitrari localment finit parcialment ordenat, amb la fórmula clàssica de Möbius aplicant-se al conjunt dels nombres naturals ordenats per divisibilitat: vegeu àlgebra d'incidència.^[2]

Enunciat de la fórmula

La versió clàssica afirma que si $g$ i $f$ són funcions aritmètiques satisfactòries

$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\quad {\text{per tot enter }}n\geq 1$

aleshores

$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\quad {\text{per tot enter }}n\geq 1$

on $μ$ és la funció de Möbius i les sumes s'estenen sobre tots els divisors positius $d$ de $n$ (indicat per $d\mid n$ a les fórmules anteriors). En efecte, la $f (n)$ original es pot determinar donada $g (n)$ utilitzant la fórmula d'inversió. Es diu que les dues seqüències són transformacions de Möbius l'una de l'altra.^[3]

La fórmula també és correcta si $f$ i $g$ són funcions dels nombres enters positius a algun grup abelià (vist com un mòdul $Z$ ).

En el llenguatge de les circumvolucions de Dirichlet, la primera fórmula es pot escriure com

$g={\mathit {1}}*f$

on $*$ denota la convolució de Dirichlet, i $1$ és la funció constant $1 (n) = 1$ . La segona fórmula s'escriu llavors com

$f=\mu *g.$

Molts exemples específics es donen a l'article sobre funcions multiplicatives.

El teorema segueix perquè $*$ és (commutatiu i) associatiu, i $1 * μ = ε$ , on $ε$ és la funció d'identitat per a la convolució de Dirichlet, prenent valors $ε (1) = 1$ , $ε (n) = 0$ per a tots els $n > 1$ . Així

$\mu *g=\mu *({\mathit {1}}*f)=(\mu *{\mathit {1}})*f=\varepsilon *f=f$

Substituint $f,g$ per $\ln f,\ln g$ , obtenim la versió del producte de la fórmula d'inversió de Möbius

$g(n)=\prod _{d|n}f(d)\iff f(n)=\prod _{d|n}g\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)},\forall n\geq 1.$ ^[4]

Referències

↑ «Number Theory - Möbius Inversion» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].
↑ «M¨obius Inversion Formula. Multiplicative Functions» (en anglès). [Consulta: 3 gener 2025].
↑ «4.3: The Mobius Function and the Mobius Inversion Formula» (en anglès), 06-05-2018. [Consulta: 13 gener 2025].
↑ «Art of Problem Solving» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].

Read other articles:

Adrianus Asia Sidot

Adrianus Asia Sidot Anggota Dewan Perwakilan RakyatPetahanaMulai menjabat 1 Oktober 2019Daerah pemilihanKalimantan Barat IIBupati Landak ke-3Masa jabatan14 Januari 2008 – 14 Januari 2017WakilHerculanus Heriadi PendahuluCornelisPenggantiKarolin Margret NatasaWakil Bupati Landak ke-2Masa jabatan6 September 2006 – 14 Januari 2008BupatiCornelis PendahuluNicodemus NehenPenggantiHerculanus Heriadi Informasi pribadiLahir02 Februari 1961 (umur 63)Landak, Kaliman...

Lee Tae-ri

Lee Tae-ri이태리Lee Tae-riLahir28 Juni 1993 (umur 30)Kebangsaan Korea SelatanNama lainLee Min-hoPekerjaanAktor Lee Tae-ri (Korea: 이태리code: ko is deprecated ; lahir 28 Juni 1993) adalah seorang aktor asal Korea Selatan dan model yang dikenal atas perannya sebagai Yang Myung di dalam serial televisi The Moon Embracing The Sun. N Filmografi Film Tahun Judul Peran Catatan 2001 Waikiki Brothers young In-ki 2002 Show Show Show Eun-ryong 2007 Le Grand Chef Sung-chan muda 2009 Act...

Stasiun Purwakarta

Artikel ini bukan mengenai Stasiun Purwokerto. Stasiun Purwakarta LW10 B01C01 Tampak depan Stasiun Purwakarta.LokasiJalan Kolonel Kornel Singawinata No. 1Nagritengah, Purwakarta, Purwakarta, Jawa Barat 41114IndonesiaKoordinat6°33′20″S 107°26′55″E / 6.55556°S 107.44861°E / -6.55556; 107.44861Koordinat: 6°33′20″S 107°26′55″E / 6.55556°S 107.44861°E / -6.55556; 107.44861Ketinggian+84 mOperator Kereta Api IndonesiaDaerah Oper...

1784 en France

Chronologie de la France ◄◄ 1780 1781 1782 1783 1784 1785 1786 1787 1788 ►► Chronologies Le Serment des Horaces de Jacques Louis David.Données clés 1781 1782 1783 1784 1785 1786 1787Décennies :1750 1760 1770 1780 1790 1800 1810Siècles :XVIe XVIIe XVIIIe XIXe XXeMillénaires :-Ier Ier IIe IIIe Chronologies géographiques Afrique Afrique du Sud, Algérie, Angola, Bénin, Botswana, Burkina Faso, Burundi, Cameroun, Cap-Ve...

Ricardo Lagos

Ricardo Froilán Lagos Escobar Presiden Chili ke-33Masa jabatan11 Maret 2000 – 11 Maret 2006Wakil PresidenJosé Miguel InsulzaFrancisco Vidal Salinas PendahuluEduardo Frei Ruiz-TaglePenggantiMichelle BacheletMenteri PendidikanMasa jabatan11 Maret 1990 – 28 September 1992 Informasi pribadiLahir2 Maret 1938 (umur 86)Santiago, ChiliPartai politikSosialis dan Partai untuk DemokrasiSuami/istriLuisa Durán de la FuenteSunting kotak info • L • B Ricardo Froil...

1998 Kashima Antlers season

Kashima Antlers 1998 football seasonKashima Antlers1998 seasonManagerJoão CarlosTakashi SekizukaZé MárioStadiumKashima Soccer StadiumJ.LeagueChampionsEmperor's CupSemifinalsJ.League CupSemifinalsTop goalscorerAtsushi Yanagisawa (22) Home colours Away colours ← 19971999 → 1998 Kashima Antlers season Competitions Competitions Position J.League Champions / 18 clubs Emperor's Cup Semifinals J.League Cup Semifinals Domestic results J.League Kashima Antlers v Avispa Fukuoka...

Brazilians in India

Ethnic group in India This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Brazilians in India – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2013) (Learn how and when to remove this message) Brazilians in India Total population860 (Brazilian nationals) Unknown number of descendants Regions with significant...

1er régiment

Cette page d’homonymie répertorie différentes unités militaires partageant un même nom. Le 1er régiment est le nom de plusieurs unités militaires : Tous les articles commençant par « 1er régiment » Australie 1er régiment blindé Autriche-Hongrie 1er régiment de carabiniers 1er régiment de chevau-légers (de) 1er régiment de cuirassiers 1er régiment de dragons légers (de) (de 1798 à 1802) 1er régiment de dragons (de 1802 à 1860...

大字 (数字)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています（詳細）。数字の大字（だいじ）は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字（小字）の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。概要壱万円日本銀行券（「壱」が大字）弐千円日本銀行券（「弐」が大字）漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

الدوري الأيرلندي 1929–30

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) الدوري الأيرلندي 1929–30 تفاصيل الموسم الدوري الأيرلندي النسخة 9 البلد جمهورية أيرلندا المنظم ات...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

آلة تحضير القهوة

تحتاج النصوص المترجمة في هذه المقالة إلى مراجعة لضمان معلوماتها وإسنادها وأسلوبها ومصطلحاتها ووضوحها للقارئ، لأنها تشمل ترجمة اقتراضية أو غير سليمة. فضلاً ساهم في تطوير هذه المقالة بمراجعة النصوص وإعادة صياغتها بما يتناسب مع دليل الأسلوب في ويكيبيديا. (أكتوبر 2015) آلة تحض�...

الإغلاق التام في الهند بسبب فيروس كورونا 2020

الإغلاق التام في الهند بسبب فيروس كورونا 2020 جزء من الإغلاقات بسبب جائحة كورونا-19 بداية: 22 مارس 2020[1] تعديل مصدري - تعديل في 24 مارس، أمرت حكومة الهند بقيادة رئيس الوزراء ناريندرا مودي بإغلاق البلاد لمدة 21 يومًا، مما حد من حركة سكان الهند البالغ عددهم 1.3 مليار �...

Independent Journal Review

American news and opinion website based in Alexandria, Virginia This article needs to be updated. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (October 2020) Independent Journal ReviewType of businessPrivateType of siteNews aggregation, blogging, journalismAvailable inEnglishFounded2012; 12 years ago (2012)HeadquartersAlexandria, Virginia, U.S.[1][2]OwnerMedia Group of AmericaFounder(s)Alex SkatellKey peop...

Goodison Park

Association football stadium in Liverpool Goodison ParkThe Grand Old LadyFormer namesMere Green FieldLocationGoodison RoadWalton, Liverpool, EnglandPublic transit KirkdaleOwnerEvertonOperatorEvertonCapacity39,572 [1]Record attendance78,299 (Everton vs Liverpool, 18 September 1948)Field size100.49 by 68 metres (109.9 yd × 74.4 yd)[1]SurfaceGrassMasterConstructionOpened24 August 1892; 131 years ago (1892-08-24)Closed2025Construction cost£3,000&...

NGC 40

Planetary Nebula in the constellation of Cepheus For the Bow Tie Nebula in Centaurus, see Boomerang Nebula. NGC 40Emission nebulaPlanetary nebulaPanSTARRS false-color image of NGC 40, using the red r-band image as blueObservation data: J2000 epochRight ascension00h 13m 01.015s[1][failed verification]Declination+72° 31′ 19.08″[1][failed verification]Distance1,619[2] pcApparent magnitude (V)11.6[3]Apparent dimension...

Originalism

Constitutional interpretation doctrine Originalist redirects here. For the play, see The Originalist. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article's tone or style may not reflect the encyclopedic tone used on Wikipedia. See Wikipedia's guide to writing better articles for suggestions. (July 2023) (Learn how and when to remove this message) The neutrality of this article is...

The Girl with the Dragon Tattoo (film)

The Girl with the Dragon TattooTheatrical release posterSutradaraDavid FincherProduser Scott Rudin Ole Søndberg Søren Stærmose Ceán Chaffin SkenarioSteven ZaillianBerdasarkanThe Girl with the Dragon Tattoooleh Stieg LarssonPemeran Daniel Craig Rooney Mara Christopher Plummer Stellan Skarsgård Steven Berkoff Robin Wright Yorick van Wageningen Joely Richardson Geraldine James Goran Višnjić Donald Sumpter Ulf Friberg Penata musik Trent Reznor Atticus Ross SinematograferJeff Cronenwe...

Dixon Lane-Meadow Creek

Questa voce sull'argomento centri abitati della California è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Dixon Lane-Meadow CreekCDP(EN) Dixon Lane-Meadow Creek, California LocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federato California ConteaInyo TerritorioCoordinate37°23′00″N 118°25′01″W37°23′00″N, 118°25′01″W (Dixon Lane-Meadow Creek) Superficie8,701 km² Abitanti2 64...

Орландо, Витторио Эмануэле

В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Орландо. Витторио Эммануэле Орландоитал. Vittorio Emanuele Orlando Председатель Совета министров Италии 29 октября 1917 года — 23 июня 1919 года Монарх Виктор Эммануил III Предшественник Паоло Бозелли Преемник Франческо Саверио Нитт�...