Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis[1] no conductors lliures de fonts caracteritzats per i , les equacions de Maxwell es redueixen a:
A :
B :
C :
D :
Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps i . Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament o . Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:
Però sabem que:
i utilitzant l'equació C tenim que:
Per tant substituint els termes tenim finalment que:
Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona.
Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:
o
Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:
Bibliografia
Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4.
Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J.. «Chapter 19». A: Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-89067-5.
Riley, K. F.. «Chapter 16». A: Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books, 2002. ISBN 1-891389-24-6.
Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl. «Chapter 3». A: Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, 1991, p. 80–107. ISBN 0-471-83965-5.
Sommerfeld, Arnold. «Chapter 16». A: Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1949. ISBN 0126546568.
Howe, M. S.. Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63320-6.