Distribució del cosinus elevat

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de probabilitat simètrica
Paràmetres	${\displaystyle \mu \,}$(real) ${\displaystyle s>0\,}$(real)
Suport	${\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}$
fdp	${\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
FD	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \mu \,}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,}$
Moda	${\displaystyle \mu \,}$
Variància	${\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 0\,}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,}$
FGM	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}}$
FC	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}$

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució de cosinus elevat és una distribució de probabilitat contínua recolzada en l'interval ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$. La funció de densitat de probabilitat (PDF) és ^[1][2]

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$ per ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ i zero en cas contrari. La funció de distribució acumulada (CDF) és ^[3]

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$ per ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ i zero per ${\displaystyle x<\mu -s}$ i unitat per ${\displaystyle x>\mu +s}$.

Els moments de la distribució de coseus elevat són una mica complicats en el cas general, però es simplifiquen considerablement per a la distribució de coseus elevat estàndard. La distribució estàndard del cosinus elevat és només la distribució del cosinus elevat amb ${\displaystyle \mu =0}$ i ${\displaystyle s=1}$. Com que la distribució estàndard del cosinus elevat és una funció parell, els moments senars són zero. Els moments parells estan donats per:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}}$

on ${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$ és una funció hipergeomètrica generalitzada.^[4]