Distribució d'Irwin-Hall

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de probabilitat simètrica
Paràmetres	n nombre natural
Suport	${\displaystyle x\in [0,n]}$
fdp	${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)^{n-1}}$
FD	${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)^{n}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Moda	${\displaystyle {\begin{cases}{\text{qualsevol valor a}}\ [0,1]&{\text{per a}}\ n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text{altrament}}\end{cases}}}$
Variància	${\displaystyle {\frac {n}{12}}}$
Coeficient de simetria	0
Curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
FGM	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}}$
FC	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}}$
Mathworld	UniformSumDistribution

En probabilitat i estadística, la distribució d'Irwin-Hall, anomenada així en honor a Joseph Oscar Irwin ^[1] i Philip Hall,^[2] és la distribució de probabilitat de la suma d'un nombre de variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Per aquest motiu també es coneix com a distribució de suma uniforme.^[3] Aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 ^[4] i per Nicolai Lobatxevski el 1832,^[5] i redescobertes per nombrosos autors.^[6]

La distribució d'Irwin-Hall està relacionada amb la distribució de Bates, que és la mitjana de n variables aleatòries independents distribuïdes uniformement en [0,1].

La distribució de Irwin–Hall ^[7] és la distribució de probabilitat de la suma de ${\displaystyle n}$ variables aleatòries ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ independents totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]:^[8]

$${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}U_{i}.}$$

La funció de densitat de probabilitat està donada per ^[9]

$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)_{+}^{n-1}},&{\text{si}}\ x\in [0,n],\\\\0,&{\text{altrament,}}\end{cases}}\qquad \qquad (1)}$$on, per a un nombre real ${\displaystyle r}$ i un nombre natural ${\displaystyle m}$ ,

$${\displaystyle (r)_{+}^{m}={\begin{cases}r^{m},&{\text{si}}\ r>0,\\0,&{\text{si}}\ r\leq 0.\end{cases}}}$$Alternativament, ^[10]$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{[x]}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)^{n-1},\quad x\in [0,n],\qquad (2)}$$ on ${\displaystyle [r]}$ és la part entera del nombre real ${\displaystyle r}$ . L'equivalència entre les expressions (1) i (2) de ${\displaystyle f_{n}}$ es dedueix del fet que per a ${\displaystyle j=[x]+1,\dots ,n}$, tenim que ${\displaystyle x-j<0}$.

Aquesta densitat també es pot escriure ^[11] $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)^{n-1},\quad x\in [k,k+1],\qquad (3)}$$amb ${\displaystyle k=0,1\dots ,n-1}$ .

Per a ${\displaystyle {\boldsymbol {n=1}}}$, la funció de densitat ${\displaystyle f_{1}}$ és la densitat d'una distribució uniforme en l'interval [0,1]: $${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$$ Vegeu la Figura 1.

Quan ${\displaystyle {\boldsymbol {n=2}}}$. $${\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}x,&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\2-x,&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$$Vegeu la Figura 2. La distribució amb aquesta funció de densitat s'anomena distribució triangular.

La demostració d'aquesta fórmula es fa utilitzant la següent propietat:

Propietat: Funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents ^[12]. Considerem dues variables aleatòries ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ independents amb funcions de densitat ${\displaystyle f_{X}}$ i ${\displaystyle f_{Y}}$ respectivament. Sigui $${\displaystyle Z=X+Y.}$$ Aleshores ${\displaystyle Z}$ té funció de densitat $${\displaystyle f_{Z}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-u)f_{X}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-u)f_{Y}(u)\,du.\quad \quad (4)}$$

Retornem al cas ${\displaystyle n=2}$. D'acord amb (4), $${\displaystyle f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{1}(x-y)dy.}$$ Fem el canvi de variable ${\displaystyle u=x-y}$ i obtenim$${\displaystyle f_{2}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{1}(u)\,du.}$$ Ara hem de distingir 3 casos:

• Cas 1. Si ${\displaystyle x\in [0,1)}$, vegeu la Figura 3, aleshores, atès que ${\displaystyle f_{1}(u)}$ és zero a menys que ${\displaystyle u\in [0,1]}$, tindrem $${\displaystyle f_{2}(x)=\int _{0}^{x}f_{1}(u)\,du=x.}$$

• Cas 2. Si ${\displaystyle x\in (1,2]}$, vegeu la Figura 4, aleshores,

$${\displaystyle f_{2}(x)=\int _{x-1}^{1}f_{1}(u)\,du=x-2.}$$

• Cas 3. Finalment, si ${\displaystyle x\not \in [0,2]}$, és clar que ${\displaystyle f_{2}(x)=0}$.

Per a ${\displaystyle {\boldsymbol {n=3}}}$, $${\displaystyle f_{3}(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\-x^{2}+3x-{\dfrac {3}{2}},&{\text{si}}\ x\in [1,2),\\\\{\dfrac {(2-x)^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$$

La demostració es fa com en el cas anterior, aplicant la fórmula (4):$${\displaystyle f_{3}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{-0}^{1}f_{2}(x-y)dy=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du.}$$ Ara cal distingir els casos ${\displaystyle x\in [0,1)}$, ${\displaystyle x\in [1,2)}$, etc. Per exemple, quan ${\displaystyle x\in [1,2)}$, $${\displaystyle f_{3}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du=\int _{x-1}^{1}u\,du+\int _{1}^{x}(2-u)\,du,}$$ i ara es calculen ambdues integrals.

Demostració de la fórmula general

Anem a demostrar la fórmula (1) per inducció (aquesta demostració és de Feller).^[9] Es pot comprovar que aquesta fórmula per a ${\displaystyle n=1,2,3}$ coincideix amb les expressions que hem calculat anteriorment; ara bé, la deducció de la fórmula general a partir dels càlculs per a ${\displaystyle n}$ petites no és gens evident. Cal dir que Lagrange i Lobatxevski van deduir fórmules equivalents mitjançant un pas al límit a partir del cas discret.

Tal com hem dit, per a ${\displaystyle n=1}$ la fórmula (1) dóna exactament l'expressió que hem obtingut abans. Suposem certa la fórmula (1) per a ${\displaystyle n}$; anem a demostrar-la per a ${\displaystyle n+1}$. De la mateixa manera que hem fet en els càlculs de ${\displaystyle n=2}$, per la fórmula (2), $${\displaystyle f_{n+1}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x-y)\,f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{n}(x-y)\,dy=\int _{x-1}^{x}f_{n}(u)\,du=\int _{-\infty }^{x}f_{n}(u)\,du-\int _{-\infty }^{x-1}f_{n}(u)\,du.\quad \quad (5)}$$

De la hipòtesi d'inducció i de l'expressió (1) veurem que cadascuna de les integrals que apareixen a la dreta es redueix a una suma d'integrals de la forma$${\displaystyle \int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du,}$$amb ${\displaystyle m\in [0,n]}$. La funció ${\displaystyle h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}}$ val (vegeu la Figura 6) $${\displaystyle h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}={\begin{cases}(u-m)^{n-1},&{\text{si }}u\geq m,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}}$$

Aleshores, per a ${\displaystyle z\geq m}$, $${\displaystyle \int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=\int _{m}^{z}(u-m)^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)^{n}.}$$ Quan ${\displaystyle z<m}$, $${\displaystyle \int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=0.}$$ En resum, $${\displaystyle \int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)_{+}^{n}.}$$

Ara hem de distingir diversos casos.

• Si ${\displaystyle x\in [1,n]}$, la primera integral de la dreta de (5) val $${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}\int _{0}^{x}(u-j)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)_{+}^{n}.\qquad (6)}$$La segona integral de la dreta de (5) dóna

$${\displaystyle \int _{0}^{x-1}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-1-j)_{+}^{n}=-{\frac {1}{n!}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j}{\binom {n}{j-1}}(x-j)_{+}^{n},\qquad (7)}$$on a la darrera igualtat hem fet el canvi d'índexs ${\displaystyle j\to j+1}$.

Ara, de (5), (6) i (7),

$${\displaystyle f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}x_{+}^{n}+{\frac {1}{n!}}\sum _{j=1}^{n-1}(-1)^{j}{\bigg (}{\binom {n}{j}}+{\binom {n}{j-1}}{\bigg )}(x-j)_{+}^{n}+{\frac {1}{n!}}(x-n-1)_{+}^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n+1}(-1)^{j}{\binom {n+1}{j}}(x-j)_{+}^{n},}$$que és l'expressió pel cas ${\displaystyle n+1}$ de (1). A la darrera igualtat hem utilitzat la propietat dels coeficients binomials $${\displaystyle {\binom {n}{j}}+{\binom {n}{j-1}}={\binom {n+1}{j}}.}$$

• Si ${\displaystyle x\in [0,1]}$, aleshores la segona integral de la dreta de (5) és zero, i en relació amb la primera integral de (3), només és diferent de zero el sumand corresponent a ${\displaystyle k=0}$, amb la qual cosa,

$${\displaystyle f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\,x_{+}^{n},}$$que és el que dóna l'expressió (1) per a ${\displaystyle n+1}$ per aquestes valors de ${\displaystyle x}$.

• Anàlogament, s'estudia el cas ${\displaystyle x\in [n,n+1]}$.

• Quan ${\displaystyle x<0}$ o ${\displaystyle x>n+1}$, evidentment ${\displaystyle f_{n+1}(x)=0}$.

La funció de distribució és ^[9]$${\displaystyle F_{n}(x)=\int _{-\infty }^{t}f_{n}(x)\,dx={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ t<0,\\\\\displaystyle {{\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(t-j)_{+}^{n}},&t\in [0,n],\\\\1,&{\text{si}}\ t>n.\end{cases}}}$$Evidentment, també es poden calcular expressions equivalents a partir de (2) i (3).

És interessant notar que la funció de densitat ${\displaystyle f_{n}(x)}$ a l'interval ${\displaystyle [0,n]}$ és un spline (funció polinòmica a trossos) de grau ${\displaystyle n-1}$ sobre els nusos ${\displaystyle 0,1,\dots ,n}$:$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}f_{n}^{(0)}(x),&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\f_{n}^{(1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\ \vdots &\\f_{n}^{(n-1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [n-1,n],\end{cases}}}$$on ${\displaystyle f_{n}^{(0)},\dots ,f_{n}^{(n-1)}}$ són polinomis de grau ${\displaystyle n-1}$, que podem escriure, per a ${\displaystyle k=0,\dots ,n-1}$,$${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j},\ \quad x\in [k,k+1].}$$on els coeficients ${\displaystyle a_{j}(k,n)}$ es poden calcular recursivament en ${\displaystyle k}$ per la fórmula $${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}0,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=0,\dots ,n-1,\\\\1,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=n-1,\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {n-1}{j}}k^{n-j-1},&{\text{per a}}\ k=1,\dots ,n-1,\,j=0,,\dots ,n-1.\end{cases}}}$$Per exemple, per a ${\displaystyle n=4}$ tenim, per a ${\displaystyle k=0}$ , $${\displaystyle a_{0}(0,4)=a_{1}(0,4)=a_{2}(0,4)=0,\ a_{3}(0,4)=1.}$$Per tant, $${\displaystyle f_{4}^{(0)}(x)={\frac {1}{6}}\,x^{3}.}$$Per a ${\displaystyle k=1}$, tenim$${\displaystyle a_{0}(1,4)=4,\,a_{1}(1,4)=-12,\,a_{2}(1,4)=12,\,a_{3}(1,4)=-3.}$$D'on $${\displaystyle f_{4}^{(1)}(x)={\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}).}$$Calculant els altres coeficients tenim, $${\displaystyle f_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}\,x^{3},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}),&{\text{si}},x\in [1,2],\\{\frac {1}{6}}(-44+60x-24x^{2}+3x^{3}),&{\text{si}},x\in [2,3],\\{\frac {1}{6}}(64-48x+12x^{2}-x^{3}),&{\text{si}},x\in [3,4].\end{cases}}}$$

Demostració de la fórmula per als coeficients ${\displaystyle a_{j}(k,n)}$

De l'expressió (3) de ${\displaystyle f_{n}(x)}$ tenim que

$${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}.}$$ Per tant, $${\displaystyle a_{0}(0,n)=a_{1}(0,n)=\cdots =a_{n-2}(0,n)=0\quad {\text{i}}\quad a_{n-1}(0,n)=1.}$$ A més, també de (3), per a ${\displaystyle j=1,\dots ,n-1}$, $${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{n-1-j}{\binom {n-1}{j}}x^{j}k^{n-1-j}.}$$

En conseqüència, ajuntant els dos coeficiens de ${\displaystyle x^{j}}$ de la dreta, tenim $${\displaystyle a_{j}(k,n)=a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{j}}k^{n-j-1}.}$$

D'altra banda, la successió $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {a_{0}(0,1)} _{\color {red}k=0}} ^{\color {blue}n=1},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,2),a_{1}(0,2)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,2),a_{1}(1,2)} _{\color {red}k=1}} ^{\color {blue}n=2},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,3),a_{1}(0,3),a_{2}(0,3)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,3),a_{1}(1,3),a_{2}(1,3)} _{\color {red}k=1},\underbrace {a_{0}(2,3),a_{1}(2,3),a_{2}(2,3)} _{\color {red}k=2}} ^{\color {blue}n=3},\dots }$$ està recollida a The on-line Encyclopedia of integer sequences,^[13] on hi ha els seus valors fins al terme ${\displaystyle a_{0}(4,5)}$. A més, també es donen fórmules per als programari Mathematica i Maple per a calcular qualsevol terme. Per a ${\displaystyle n=5}$$${\displaystyle f_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}\,x^{4},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{24}}(-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\{\frac {1}{24}}(155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\{\frac {1}{24}}(-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [3,4],\\{\frac {1}{24}}(625-500x+150x^{2}-20x^{3}+x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [4,5].\end{cases}}}$$La funció de distribució també és un spline a ${\displaystyle [0,n]}$ i els coeficients dels diferents polinomis també estàn recollits a The on-line Encyclopedia of integer sequences ^[14]

D'acord amb el teorema central del límit, atès que $${\displaystyle E[U_{i}]={\frac {1}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(U_{i})={\frac {1}{12}},}$$ tenim que

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {12}{n}}}\,{\big (}S_{n}-{\frac {n}{2}}{\big )}=Z,\ {\text{en distribució}},}$$on ${\displaystyle Z}$ te una distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ (vegeu la remarca 2 a la pàgina teorema central del límit ). També es diu que ${\displaystyle S_{n}}$ és asimptòticament normal amb mitjana ${\displaystyle n/2}$ i variància ${\displaystyle n/12}$ i s'escriu $${\displaystyle S_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {n}{2}},{\frac {n}{12}}{\bigg )}.}$$

La funció de densitat de la suma de ${\displaystyle n}$ variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval ${\displaystyle [0,c]}$ amb ${\displaystyle c>1}$ , que designarem per ${\displaystyle f_{n}(x;0,c)}$ és $${\displaystyle f_{n;0,c}(x)={\frac {1}{c^{n}(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}(x-cj)_{+}^{n-1},\ x\in [0,cn].}$$

Lobatxevski^[5] (vegeu també)^[15] considera el cas de la suma de ${\displaystyle n}$ variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval ${\displaystyle [-1,1]}$. La seva densitat, que denotarem per ${\displaystyle f_{n}(x;-1,1)}$ és $${\displaystyle f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-n,n].}$$Alternativament,^[16] $${\displaystyle f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{{\big [}{\frac {x+n}{2}}{\big ]}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}^{n-1},\ x\in [-n,n].}$$

Siguin ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ amb ${\displaystyle a<b}$. Designem per ${\displaystyle S_{n;a,b}}$ la seva suma: $${\displaystyle S_{n;a,b}=\sum _{i=1}^{n}V_{i}.}$$Sigui ${\displaystyle f_{n}(x;a,b)}$ la seva funció de densitat . Aleshores, $${\displaystyle f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].}$$

Demostracions

Evidentment ${\displaystyle f_{n}(x;0,c)}$ i ${\displaystyle f_{n}(x;-1,1)}$ són casos particulars de ${\displaystyle f_{n}(x;a,b)}$. Per demostrar la fórmula en el cas general només s'ha de tenir en compte que si ${\displaystyle U}$ és una variable aleatòria uniforme en ${\displaystyle [0,1]}$, llavors ${\displaystyle a+(b-a)U}$ té una distribució uniforme en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ (n'hi ha prou amb calcular la funció de densitat de ${\displaystyle a+(b-a)U}$ mitjançant la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries). Aleshores ${\displaystyle S_{n;a,b}}$ tindrà la mateixa distribució que $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\big (}a+(b-a)U_{i}{\big )}=na+(b-a)S_{n},}$$on ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ són variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval ${\displaystyle [0,1]}$ i ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}U_{i}}$. Llavors, per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries, $${\displaystyle f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].}$$

• Distribució de Bates
• Distribució uniforme contínua
• Distribució triangular

• Feller, William. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Volumen II. Segunda edición. Mèxico: Editorial Limusa, 1978, p. 55. 

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2a edició. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.