En anàlisi matemàtica una funció ${\displaystyle f(x)}$ es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de ${\displaystyle x}$ produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en ${\displaystyle f(x)}$ depèn únicament de la grandària dels canvis en ${\displaystyle x}$ però no del valor de ${\displaystyle x}$ (uniforme).

Donats dos espais mètrics ${\displaystyle (X,d_{X})}$ i ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, i ${\displaystyle M\subseteq X}$ llavors una funció ${\displaystyle f:M\to Y}$ es diu uniformement contínua en ${\displaystyle M}$ si per a qualsevol nombre real ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existeix ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$, implica que ${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon }$ per a tot ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in M}$.

Una funció ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ és uniformement contínua en un interval ${\displaystyle A}$ si per a tot ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existeix algun ${\displaystyle \delta >0}$ tal que per a tot ${\displaystyle x,y\in A}$ es compleix que si ${\displaystyle |x-y|<\delta }$, llavors ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$.^[1][2]

A diferència de la continuïtat, on el valor de ${\displaystyle \delta }$ depèn del punt ${\displaystyle x}$, en les funcions uniformement contínues, no.${\displaystyle }$

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ no és uniformement contínua a ${\displaystyle (0,+\infty )}$, però sí que ho és a ${\displaystyle [1,10]}$.

• La funció ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ amb ${\displaystyle x>0}$ és contínua però no uniformement contínua.
• La funció ${\displaystyle x}$ és uniformement contínua en l'interval [0,1].
• Tot polinomi ${\displaystyle p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.${\displaystyle }$

• De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ i ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. ${\displaystyle f(x)}$ és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si ${\displaystyle M}$ és un espai mètric compacte i ${\displaystyle Y}$ un espai mètric, llavors tota funció contínua ${\displaystyle f:M\rightarrow Y}$ és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

• Si ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ és una successió de Cauchy continguda en el domini de ${\displaystyle f}$ (no necessàriament convergent) i ${\displaystyle f}$ és una funció uniformement contínua, llavors ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ també és una successió de Cauchy.
• Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.