En física quàntica, l'amplitud de dispersió és l'amplitud de probabilitat de l'ona esfèrica sortint en relació amb l'ona plana entrant en un procés de dispersió en estat estacionari. A grans distàncies del centre de dispersió simètric central, l'ona plana es descriu per la funció d'ona ^[1]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

on ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$ és el vector de posició; ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$; ${\displaystyle e^{ikz}}$ és l'ona plana entrant amb el nombre d'ona k al llarg de l'eix z; ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ és l'ona esfèrica sortint; θ és l'angle de dispersió (angle entre la direcció incident i dispersa); i ${\displaystyle f(\theta )}$ és l'amplitud de dispersió. La dimensió de l'amplitud de dispersió és la longitud. L'amplitud de dispersió és una amplitud de probabilitat; la secció transversal diferencial en funció de l'angle de dispersió es dóna com el seu mòdul al quadrat, ^[2]

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

La forma asimptòtica de la funció d'ona en un camp extern arbitrari pren la forma ^[1]

${\displaystyle \psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

on ${\displaystyle \mathbf {n} }$ és la direcció de les partícules incidents i ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ és la direcció de les partícules disperses.^[3]

Quan la conservació del nombre de partícules és certa durant la dispersió, condueix a una condició unitària per a l'amplitud de dispersió. En el cas general, tenim ^[1]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

El teorema òptic segueix a partir d'aquí mitjançant la configuració ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

En el camp centralment simètric, la condició unitària esdevé

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

on ${\displaystyle \gamma }$ i ${\displaystyle \gamma '}$ són els angles entre ${\displaystyle \mathbf {n} }$ i ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ i alguna direcció ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$. Aquesta condició limita el formulari permès per ${\displaystyle f(\theta )}$, és a dir, la part real i imaginària de l'amplitud de dispersió no són independents en aquest cas. Per exemple, si ${\displaystyle |f(\theta )|}$ en ${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha }}$ es coneix (per exemple, a partir de la mesura de la secció transversal), doncs ${\displaystyle \alpha (\theta )}$ es pot determinar de tal manera que ${\displaystyle f(\theta )}$ es determina de manera única dins de l'alternativa ${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$. ^[1]

En l'expansió de les ones parcials, l'amplitud de dispersió es representa com una suma sobre les ones parcials,

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$

on f_ℓ és l'amplitud de dispersió parcial i P_ℓ són els polinomis de Legendre. L'amplitud parcial es pot expressar mitjançant l'element de matriu S d' ona parcial S_ℓ ( ${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$ ) i el canvi de fase de dispersió δ_ℓ as

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Aleshores la secció transversal total ^[4]

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$

es pot ampliar com a ^[1]

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

és la secció transversal parcial. La secció transversal total també és igual a ${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$ degut al teorema òptic.

Per ${\displaystyle \theta \neq 0}$, podem escriure ^[1]

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$