Коефициентът на Зонеборн–Бергер (ЗБ, ZB) наричан още коефициент на Бергер–Зонеборн (БЗ) или само коефициент на Бергер (КБ, KB) е личен коефициент на всеки от участниците в състезания по настолни игри, който се използва за определяне на местата в класирането на участниците, които са събрали равен брой точки. Често се обозначава като SB (на английски: Sonneborn–Berger). Основната му цел е да се даде по-голяма стойност за победа/равенство срещу играч, представящ се добре в турнира, отколкото за победа/равенство срещу играч, представящ се слабо. Методът за класиране по коефициента на Бергер първоначално е разработен за кръгови турнири по шахмат (всеки играе срещу всеки друг), по-късно се използва и за турнири по швейцарската система. Прилага се и за други състезания, например сьоги, го, пулове.

В кръгови турнири, където се присъжда определен постоянен брой точки за победа, равенство и загуба (например в шаха се дава 1 точка за победа, 0,5 точки за равенство, 0 точки за загуба; по-рядко, 3 за победа и 1 за равенство, например в шахматния турнир в Лондон 2010 г.), често се случва двама или повече участници да спечелят еднакъв брой точки. За да се определят местата им в класирането се изчисляват коефициентите на Бергер. По-високо се класира участникът с по-висок е коефициент.

Чехословашкият майстор Оскар Гелбфухс е първият, който предлага този метод за изчисление в случай на равенство на точките през август 1873 г. Уилям Зонеборн (William Sonneborn, 1843–1906 ^[1][2][3]) и Йохан Бергер са първите, които го използват на практика на турнира в Ливърпул през 1882 г. Поради това изчисляваните коефициенти носят техните имена. От 1886 г. този метод за класиране влиза в постоянна практика.

Наричан е още коефициент на Нойщадл на името на чехословашкият шахматист и шахматен композитор Херман Нойщадл (Hermann Neustadtl, 1862 – 1909 ^[4]), който първи го предлага в писмо, публикувано в английското шахматно списание Chess Monthly през 1882 г. В съвременния си вид, в който се използва на състезания, това е точно коефициентът на Нойщадл.

В шахмата коефициентът на Зонеборн–Бергер на даден участник е сборът от всички точки на противниците, които участникът е победил ${\displaystyle T_{n}}$, плюс половината от сбора от точките на противниците, с които участникът е завършил наравно ${\displaystyle T_{p}}$: ^[5][6]

${\displaystyle ZB=T_{n}+0,5T_{p}}$

В шашките се дават 2 точки за победа, 1 точка за равенство, 0 точки за загуба, следователно при изчисляване на коефициента на Бергер се сумират точките на противници, които е победил даденият участник, умножават се по 2 и към тях се прибавят точките на противниците, с които участникът е завършил наравно.

Идеята за използване на коефициента: от двама участници с равен брой точки по-силният е този, който е спечелил срещу по-силни противници, тоест тези, които са отбелязали повече точки. Следователно, участникът с по-висок коефициент на Бергер получава по-високо крайно място в турнира.

Коефициентът на Бергер е измислен за кръгови турнири, но може, ако е необходимо, да се използва в други системи за състезание, където трябва да бъдат разпределени местата на участници с равен брой игри. Той може да се приложи и в турнири по швейцарска система, въпреки че там традиционно се използва коефициентът на Бухолц.

Недостатък на КБ е, че не отчита точките на съперниците, от които участникът е загубил.^[7] Ако загубите са от силно представили се състезатели, участникът е ощетен (пропуска много точки), а ако са от слабо представили се, е облагодетелстван (пропуска малко точки). И в двата случая оценката е необективна, което налага използване на друг показател.

В кръговите турнири от 1985 г. се използва и „опростеният коефициент на Бергер“ /ОБ, OB/ (предложен от Марк Дворецки и известен още като коефициент на Шмулян /Ш, Sh/ ^[7][8]): точките на всички противници, срещу които шахматистът е спечелил ${\displaystyle T_{n}}$ се вземат със знак „плюс“, а точките на всички от които е загубил се взимат със знак „минус“ ${\displaystyle -T_{3}}$, и според сбора се зачита най-добрият резултат:

${\displaystyle OB=Sh=T_{n}-T_{3}}$

Това позволява да се намалят изчисленията и да не се налага предварително да се разполовяват резултатите от равните срещи. Получените стойности за ОБ обаче могат да бъдат положителни и отрицателни цели или смесени числа с дробна част, кратна на 0,5. При КБ те са само положителни цели или смесени числа с дробна част, кратна на 0,25.

Аналогично на КБ, опростеният коефициент на Бергер пък не отчита точките на съперниците, с които участникът е завършил наравно и това има същите последствия.^[7] Друг недостатък е, че ОБ е обективен само по отношение на победите – повече точки за победи над силно представили се състезатели. По отношение на загубите той е необективен: за загуба от силен играч, която е нормална, се отнемат повече точки, а за загуба от слаб играч, която е слабо представяне, се отнемат по-малко точки.

Таблица с резултатите от хипотетичен кръгов турнир:

Обозначения: 1 — победа, ½ — реми, 0 — загуба, КБ — коефициент на Бергер, ОВ — опростен коефициент на Бергер.

Участниците Желязков и Ангелов са събрали еднакъв брой точки, по 4 точки. Кой от тях ще заеме трето място се определя от коефициента на Бергер.

Коефициентът на Бергер на участника Желязков е както следва: КБ = 2,5 (половината от точките на Михайлов) + 2,25 (половината от точките на Александров) + 2 (половината от точките на Ангелов) + 1,25 (половината от точките на Ганев) + 1 (всички точки на Калчев) + 0 (всички точки на Гетовски) = 9. Опростеният коефициент на Бергер (ОВ) на Желязков е сума от точките на играчите, които е победил (той няма загуби):
ОВ = 1 (Калчев) + 0 (Гетовски) – 0 (без загуби) = 1.

Коефициентът на Бергер на участника Ангелов е както следва: 0 (за загуба от Михайлов) + 2,25 (половината от точките на Александров) + 2 (половината от точките на Желязков) + 2,5 (всички точки на Ганев) + 1 (всички точки на Калчев) + 0 (всички точки на Гетовски) = 7,75. Неговият опростен коефициент на Бергер е сумата от точките на играчите, които е победил минус сумата от точките на играчите, от които е загубил:
ОВ = 2,5 (Ганев) + 1 (Калчев) + 0 (Гетовски) – 5 (Михайлов) = –1,5.

Така участникът Желязков има по-висок коефициент на Бергер от участника Ангелов (9 срещу 7,75), както и по-висок опростен коефициент на Бергер от него и третото място се присъжда на Желязков. Коефициентът на Бергер е по-висок за този, който спечели или завърши наравно с по-силни играчи (играчи с повече точки). В горния пример победа над участник с нула точки не допринася за коефициента на Бергер.

Като пример за системата в действие е показана таблицата на финала на Световното първенство по кореспондентски шах през 1975–80 г.:

Йорн Слот и Владимир Загоровски завършват с по 11 точки от 14 игри, но Слот печели турнира, защото неговият КБ 69,5 е по-висок от 66,75 на Загоровски. Косенков има по-висок КБ (67,5) от Загоровски, но завършва трети поради по-ниския си сбор от точки от 10½, който е основен показател. Коефициентът Зонеборн-Бергер на Слот може да се изчисли чрез умножаване на неговите резултати по съответния брой точки на всеки опонент, след което се сумират:

${\displaystyle KB=(0,5\times 11)+(0,5\times 10,5)+(1\times 8,5)+(0,5\times 8)+(0,5\times 7)+(1\times 7)+(1\times 7)+}$${\displaystyle +(0,5\times 7)+(1\times 7)+(0,5\times 5,5)+(1\times 5,5)+(1\times 4,5)+(1\times 4,5)+(1\times 1)=69,5}$

Аналогично коефициентът на Зонеборн–Бергер е приложен за разпределяне на местата от 6 до 10, 11–12 и 13–14.

Като цяло, ако ${\displaystyle x_{ij}}$ обозначава резултата на играч ${\displaystyle i}$ срещу играч ${\displaystyle j}$, тогава общият брой точки на ${\displaystyle i}$ е ${\displaystyle T_{i}=\sum _{j\neq i}x_{ij}}$, а коефициентът Бергер на ${\displaystyle i}$ е ${\displaystyle ZB_{i}=\sum _{j\neq i}x_{ij}T_{j}}$.

Разглежда се ситуацията, която се възниква на шахматната олимпиада за жени през 1957 г. в група „C“:

Място	Отбор	1	2	3	4	5	6	7	Игрови точки	Отборни точки	Поб.	Рав.	Заг.
1	Югославия	×	1½	½	2	1½	1	2	8½	9	4	1	1
2	ФРГ	½	×	1	1	2	2	2	8½	8	3	2	1
3-4	Англия	1½	1	×	1	½	2	2	8	8	3	2	1
3-4	Полша	0	1	1	×	2	2	2	8	8	3	2	1
5	Дания	½	0	1½	0	×	2	2	6	6	3	0	3
6	Норвегия	1	0	0	0	0	×	2	3	3	1	1	4
7	Белгия	0	0	0	0	0	0	×	0	0	0	0	6

Отборите на Полша и Англия са с абсолютно равни показатели. Според регламента на първата женска шахматна олимпиада за тях е изчислен коефициентът на Бергер.

Полша

По логиката на коефициента се изчислява сумата от точки, отбелязани от победените противници. Отборът на Полша побеждава отбора на Дания, който е спечелил 6 игрови точки на турнира; отборът на Норвегия, който има 3 точки; и тимът на Белгия, който няма нито една точка.

Тоест като цяло тези трима съперници, победени от отбора на Полша, са събрали общо 9 точки на турнира.

Втората част на коефициента отчита резултатите на противниците, с които играта е завършила наравно. Националният отбор на Полша завършва наравно с отборите на Германия и Англия. Сборът от игрови точки, отбелязани от тези отбори, е 16,5 (8  – Англия + 8,5  – Германия). Логиката на коефициента на Бергер предполага, че се зачитат само половината от точките, отбелязани от противниците, с които са играни равенства. Тоест 16,5 / 2 = 8,25.

Последната част от алгоритъма на коефициента на Бергер събира тези два резултата. Съответно: 9 точки, отбелязани от победени противници (Дания, Норвегия, Белгия), се добавят към половината от точките, отбелязани от противници, с които е изиграно равенство (Германия, Англия) - 8,25.

Коефициентът на Бергер за отбора на Полша е: 9 + 8,25 = 17,25.

Англия

Изчислява се и коефициента за отбора на Англия:

Изчисляваме и коефициента за отбора на Англия: Отборът на Англия е победил отборите на Югославия, Норвегия и Белгия, които заедно отбелязаха (съответно 8,5 + 3 + 0) = 11,5 точки. Направил е реми с националните отбори на Германия и Полша, които заедно отбелязват (съответно 8,5 + 8) = 16,5 точки. Но ние вземаме предвид само половината от 16,5 / 2 = 8,25.

Съответно коефициентът на Бергер за отбора на Англия ще бъде равен на 11,5 + 8,25 = 19,75.

Заключение: Английският отбор има по-висок коефициент на Бергер, така че се класира по-високо от отбора на Полша.

През 1873 г. на международния турнир във Виена не всички състезатели са изиграли еднакъв брой игри и има разногласия относно крайното класиране. Австрийският адвокат и състезател Оскар Гелбфухс предлага претеглен метод за точкуване, който избягва повечето равенства и осигурява пълно класиране на играчите, дори когато не всички са изиграли еднакъв брой игри.

За играч ${\displaystyle i}$, който е изиграл ${\displaystyle n}$ игри и е отбелязал резултат ${\displaystyle x_{ij}}$ срещу играч ${\displaystyle j}$, се сумират всички резултати и се получава общият брой необработени точки на играч ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle S_{i}=\sum _{j\neq i}x_{ij}}$.

Неговият коефициент на Гелбфухс (КГ) се определя като

${\displaystyle G_{i}=\sum _{j\neq i}x_{ij}\left(1+{\frac {S_{j}}{n}}\right)}$.

Следва да се отбележи, че ${\displaystyle S_{j}}$ е между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle n}$ (равно на ${\displaystyle n}$, ако ${\displaystyle j}$ спечели всяка игра и ${\displaystyle 0}$, ако е загубил), така че ${\displaystyle S_{j}/n}$ е между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$. Следователно коефициентът на Гелбфухс първо претегля всеки резултат ${\displaystyle x_{ij}}$ с коефициент ${\displaystyle 1+S_{j}/n}$, между ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ и след това сумира индивидуалните претеглени резултати. При изчисляването на КГ загубата е на стойност ${\displaystyle 0}$, равенството е на стойност между ${\displaystyle 0,5}$ и ${\displaystyle 1}$, а победата е на стойност между ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$.

В края на турнир от ${\displaystyle n}$ кръга КГ на играча е сумата от неговия необработен резултат ${\displaystyle S_{i}}$ и мащабирания му резултат от коефициента на Бергер ${\displaystyle KB_{i}}$ (Нойщадл ${\displaystyle N_{i}}$):

${\displaystyle G_{i}=S_{i}+{\frac {1}{n}}KB_{i}}$.

Коефициентът на Зонеборн–Бергер модифициран Нойщадл /ЗБМН, КБМН, ZBMN/ (на английски: Non-Neustadtl Sonneborn-Berger score /NNSB/) е оригиналният метод за точкуване, предложен от Уилям Зонеборн и Йохан Бергер като подобрение на коефициента на Нойщадл (сегашният КБ), който да се използва като претеглен резултат в кръгови турнири вместо суровия резултат на Нойщадл за определяне на крайните места при равни точки, подобно на резултата на коефициента на Гелбфухс.

През 1886 г. Зонеборн критикува коефициента на Нойщадл и предлага да се добави квадратът на точките на играча към претегления резултат. През 1887 и 1888 г. Бергер изучава метода на Гелбфухс и предложението на Зонеборн и възприема подхода на Зонеборн за турнирите. Модификацията на коефициента на Нойщадл с добавката на Зонеборн е известна като метод на Зонеборн–Бергер. В съвременния шах тези резултати се използват само за прекъсване на равенствата между играчи с еднакъв резултат, където добавянето на квадрат на необработения резултат на играча няма влияние върху тайбрека, така че подобрението на Зонеборн и Бергер за квадрата на точките е пропуснато в съвременната употреба. Въпреки това методът на Нойщадл запазва името на Зонеборн–Бергер и резултатът се нарича широко „коефициент на Зонеборн–Бергер“. ^[9]

В резултат на това, когато се говори модификацията, която Зонеборн и Бергер правят на метода на Нойщадл, тя се нарича „коефициент на Зонеборн–Бергер модифициран Нойщадл“. За сравнение, в турнир, в който всеки е играл ${\displaystyle n}$ игри, коефициентът на Зонеборн–Бергер (ЗБ, ZB), коефициентът на Зонеборн–Бергер модифициран Нойщадл (ZBMN) и коефициентът на Гелбфухс (G) на ${\displaystyle i}$-ия играч ще бъдат:

${\displaystyle ZB(i)=T_{no}+{\frac {1}{2}}T_{p}}$,
${\displaystyle ZBMN(i)=S_{i}\times S_{i}+T_{no}+{\frac {1}{2}}T_{p}}$,
${\displaystyle G(i)=S_{i}+{\frac {1}{n}}\left(T_{no}+{\frac {1}{2}}T_{p}\right)}$,

където ${\displaystyle T_{no}}$ е сборът от всички точки на противниците, които играчът е победил;
${\displaystyle T_{p}}$ – сборът от точките на противниците, с които играчът е завършил наравно;
${\displaystyle S_{i}}$ е сборът от всички точки на играча.

За компенсиране на недостатъците на коефициента на Зонеборн–Бергер и опростения коефициент на Бергер е съставена Рижската система, която освен победите отчита и равните срещи, и загубите. Тя е модифицирано обобщение на двата коефициента.

Рижският коефициент (R) е сума от удвоения сбор на всички точки на противниците, които участникът е победил, сбора от точките на противниците, с които той е завършил наравно, умножен по 1,5, и сбора от точките на противниците, от които е загубил: ^[7][8]

${\displaystyle R=2T_{n}+1,5T_{p}+T_{3}}$.

Сред останалите методи, посочени в официалните правила, Рижският коефициент е най-обективен – сумира с различни тегла точките на всички противници в зависимост от резултата срещу тях, но има един недостатък - не стимулира играта към победа. Например двама участници, които са събрали еднакъв брой точки, са играли с двама противници, които са отбелязали по 7 точки. Единият участник е спечелил срещу един от противниците и загубил от другия. Неговият Рижски коефициент ще бъде равен на 2.7+7=14+7=21. Вторият участник е завършил наравно с едни и същи противници и двата пъти. Неговият Рижски коефициент е 1,5.7+1,5.7=10,5+10,5=21. Явно коефициентите на участниците ще бъдат равен и няма да излъчат по-силния. Недостатъкът може да се отстрани чрез даване на по-висок коефициент на тегловност на победите, както е в следващия показател.

През 1968 г. в руското списание „Шашки“ се споменават коефициенти на тегловност (4, 2, 1) в Рижската система. За този метод настоява московският майстор на спорта по шашки, композиция на шашки и кореспондентски шах Александър Горин (р. 1940). ^[10][11]

Коефициентът на Горин (Г) е сума от учетворения сбор на всички точки на противниците, които участникът е победил, удвоения сбор от точките на противниците, с които той е завършил наравно, и сбора от точките на противниците, от които е загубил: ^[8][7]

${\displaystyle \Gamma =4T_{n}+2T_{p}+T_{3}}$.

Така срещу двама едни и същи противници победа и загуба имат по-голяма стойност (4+1=5 точки), отколкото две равни срещи (2+2=4 точки). В горния пример коефициентът на Горин за първия състезател с победа и загуба ще бъде 4.7+7=28+7=35, а за втория с две срещи наравно – 2.7+2.7=14+14=28. Така се стимулират победите.

От всички разгледани показатели коефициентът на Горин е най-обективният критерий за определяне на местата в класирането на участниците, които са събрали равен брой точки. Отчита всички резултати, силата на противниците, срещу които са постигнати и стимулира победите. Универсално приложим е за състезания както по кръгова, така и по швейцарска система.

• Системи и методи за допълнително точкуване
• Коефициент на Бухолц
• Бергерова таблица

• Шахматы: энциклопедический словарь / гл. ред. А. Е. Карпов. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — С. 357—358. — 621 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-005-3.