Першаі́сны корань па модулю m ― цэлы лік g такі, што

${\displaystyle g^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}$

і

${\displaystyle g^{\ell }\not \equiv 1{\pmod {m}}}$ пры ${\displaystyle 1\leq \ell <\varphi (m),}$

дзе ${\displaystyle \varphi (m)}$ ― функцыя Эйлера  (руск.) (бел..

Іншымі словамі, першаісны корань — гэта ўтваральны элемент мультыплікатыўнай групы  (руск.) (бел. колца вылікаў па модулю m.

Першаісныя карані існуюць толькі па модулях m віду

m = 2, 4, p^a, 2p^a,

дзе p > 2 ― просты лік. Толькі ў гэтых выпадках мультыплікатыўная група колца вылікаў  (руск.) (бел. па модулю m з'яўляецца цыклічнаю групаю парадку φ(m).

Для першаіснага кораня g яго ступені g⁰=1, g, …, g^φ(m)-1 непараўнальныя паміж сабою па модулю m і ўтвараюць прыведзеную сістэму рэшт па модулю m. Таму для кожнага ліку a, узаемна простага з m, знойдзецца паказчык ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ(m)-1, такі што

${\displaystyle g^{\ell }\equiv a{\pmod {m}}.}$

Такі лік ℓ называецца індэксам ліку a па аснове g.

Калі па модулю m існуе першаісны корань g, то ўсяго існуе φ(φ(m)) розных першаісных каранёў па модулю m, прычым усе іх можна атрымаць як g^k, дзе 1 ⩽ k ⩽ φ(m)-1 і лік k узаемна просты з φ(m).

Першаісныя карані для простых модуляў p былі ўведзены Эйлерам, але існаванне першаісных каранёў для любых простых модуляў p даказаў толькі Гаус у 1801 годзе.

Лік 3 з'яўляецца першаісных коранем па модулю 7. Каб пераканацца ў гэтым, дастаткова кожны лік ад 1 да 6 прадставіць як некаторую ступень тройкі па модулю 7:

${\displaystyle 3^{0}\equiv 1\ {\pmod {7}}}$

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3\ {\pmod {7}}}$

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2\ {\pmod {7}}}$

${\displaystyle 3^{3}\equiv 6\ {\pmod {7}}}$

${\displaystyle 3^{4}\equiv 4\ {\pmod {7}}}$

${\displaystyle 3^{5}\equiv 5\ {\pmod {7}}}$

Прыклады найменшых першаісных каранёў па модулю m (паслядоўнасць A046145 у OEIS):

• Дыскрэтнае лагарыфмаванне  (руск.) (бел.
• Паказчык ліку па модулю  (руск.) (бел.
• Гіпотэза Арціна  (руск.) (бел.

• И. М. Виноградов. Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.

• «Першаісныя карані» на сайце MAXimal (руск.)
• Weisstein, Eric W.. Primitive Root (нявызн.). MathWorld.