Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі^[1]. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»^[2] (1828—1832)^[3]. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ але ёсць і істотныя адрозненні.

Фармальнае азначэнне:

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}.}$

Мноства ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ і з’яўляецца яго пашырэннем^[4]. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам^[5]. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку ${\displaystyle a+bi}$ ёсть таксама гаусаў лік ${\displaystyle a-bi.}$

Кожны лік ${\displaystyle z=a+bi}$ задавальняе квадратнае ўраўненне:

${\displaystyle (z-a)^{2}+b^{2}=0.}$

Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

Норма для гаусавага ліку ${\displaystyle a+bi}$ вызначаецца як квадрат яго модуля^[6]:

${\displaystyle N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}.}$

Уласцівасці нормы^[7]:

• Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
• Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
• Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
• Калі норма няцотная, то яна мае від 4n + 1, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду 4n + 3.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці^[7]:

${\displaystyle N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v).}$

Адсюль вынікае^[8], што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. ${\displaystyle \{1;-1;i;-i\}.}$

Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці^[8]. Прыклад: гаусавы лікі 1 + i і 1 − i асацыіраваныя, бо:

${\displaystyle 1+i=i(1-i).}$

У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам^[7]:

Кажуць, што гаусаў лік ${\displaystyle u}$ дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік ${\displaystyle v}$, калі існуе трэці гаусаў лік ${\displaystyle q}$ такі, што ${\displaystyle u=vq}$. Абазначэнне: ${\displaystyle v|u.}$

Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,

• ${\displaystyle u}$ дзеліцца на ${\displaystyle v;}$
• ${\displaystyle v}$ дзеліць ${\displaystyle u;}$
• ${\displaystyle v}$ — дзельнік ${\displaystyle u.}$

Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае (${\displaystyle u}$), дзельнік (${\displaystyle v}$) і дзель (${\displaystyle q}$). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.

Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + i, таму што ${\displaystyle ~2=(1+i)(1-i)}$.

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі^[9].

Дзяленне цалкам у ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў^[8][7]:

• Калі гаусаў лік ${\displaystyle z}$ дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка ${\displaystyle z.}$
• Калі ${\displaystyle u|v}$ і ${\displaystyle v|u}$, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
• Калі ${\displaystyle u|v}$, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з ${\displaystyle v,}$ дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з ${\displaystyle u}$.
• Калі ${\displaystyle u}$ дзеліцца на ${\displaystyle v\;(u=vq)}$, то спалучаны да дзялімага ліку ${\displaystyle {\overline {u}}}$ дзеліцца на спалучаны да дзельніка ${\displaystyle {\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}}).}$
• Усе дзельнікі гаусавага ліку ${\displaystyle z}$ з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы ${\displaystyle N(z)=z\cdot {\overline {z}}.}$
• Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на ${\displaystyle ~1+i.}$
• Калі ${\displaystyle v|u}$, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:

${\displaystyle N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}.}$

У кожнага гаусавага ліку ${\displaystyle z}$ ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам ${\displaystyle z}$ і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle z,\ iz,\ -z,\ -iz.}$

Але дамнажэнне на ${\displaystyle i}$ геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя ${\displaystyle z}$. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з ${\displaystyle z}$, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя ${\displaystyle z.}$ Напрыклад, на рысунку ${\displaystyle ~4-2i=-2i(1+2i).}$ Наадварот, любое кратнае ${\displaystyle z}$ супадае з адным з вузлоў рашоткі.

Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі^[10].

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:

• Калі ${\displaystyle a+bi}$ — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік ${\displaystyle a-bi}$ таксама просты.
• Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
• Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з ${\displaystyle 1+i}$, заўсёды няцотная і таму мае від ${\displaystyle 4n+1.}$

Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ужо не простыя:

${\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).}$

Калі гаусаў лік ${\displaystyle w}$ з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі^[11].

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў ${\displaystyle ~u,v}$ узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі ${\displaystyle ~u,v}$ узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, ${\displaystyle 5+2i}$ і ${\displaystyle 5-2i}$ узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.

• Калі кожны з двух гаусавых лікаў ${\displaystyle u,v}$ узаемна просты з гаусавым лікам ${\displaystyle w,}$ то і іх здабытак ${\displaystyle uv}$ узаемна просты^[11] з ${\displaystyle w.}$
• Калі ${\displaystyle z|uv}$ і пры гэтым ${\displaystyle z}$ узаемна просты з ${\displaystyle u}$, то^[12] ${\displaystyle z|v.}$

Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$^[13].

Гаусаў лік ${\displaystyle a+bi}$ з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі: альбо адзін з лікаў ${\displaystyle a,b}$ нулявы, а другі — цэлы просты лік віду ${\displaystyle \pm (4n+3)}$; альбо ${\displaystyle a,b}$ абодва не нулі, і норма ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ — просты натуральны лік.

Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.

• Да першай часткі крытэрыя: ${\displaystyle \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.}$
• Да другой часткі крытэрыя: ${\displaystyle 1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.}$

Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве^[14]:

1. Лікі, асацыіраваныя з ${\displaystyle 1+i.}$ Іх норма роўная 2.
2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду ${\displaystyle 4n+1.}$

Сам Гаус такога раздзялення не рабіў^[15].

Вынікі.

• Ніякі просты натуральны лік віду ${\displaystyle 4n+1}$ не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду ${\displaystyle 4n+3}$ з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
• Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку^[16].
• Просты натуральны лік віду ${\displaystyle 4n+1}$ можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў ${\displaystyle (a+bi)(a-bi)}$ ці, што тое самае, як суму квадратаў ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя^[17].
• Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку^[17]. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

У ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў^[1][18].

Прыклад: ${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).}$ Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: ${\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),}$ так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік ${\displaystyle z}$ на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з ${\displaystyle z}$ ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку ${\displaystyle z}$ на простыя натуральныя множнікі^[19].

1. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як ${\displaystyle (1+i)(1-i)}$. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія ${\displaystyle z}$ дзеліцца цалкам.
2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду ${\displaystyle 4n+3}$ з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму ${\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}$, але і сам ${\displaystyle z.}$ Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік ${\displaystyle {\overline {z}}}$. Адсюль выцякае, што множнік віду ${\displaystyle 4n+3}$ уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога ${\displaystyle z}$ — у ступені, удвая меншай.
3. Множнік віду ${\displaystyle 4n+1}$ можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі ${\displaystyle 9+12i.}$ Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: ${\displaystyle ~225=3^{2}\cdot 5^{2}.}$ Згодна з вышэйсказаным, ${\displaystyle ~5=(2-i)(2+i).}$ Праверкаю пераконваемся, што ${\displaystyle 9+12i}$ дзеліцца толькі на ${\displaystyle ~2+i}$ і не дзеліцца на ${\displaystyle ~2-i.}$ Дзель ${\displaystyle 9+12i}$ на ${\displaystyle ~3(2+i)}$ роўная ${\displaystyle ~2+i,}$ таму канчаткова атрымліваем:

${\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}.}$

Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў^[20]:

Няхай ${\displaystyle w}$ — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі ${\displaystyle u,v}$ называюцца параўнальнымі па модулю ${\displaystyle w}$, калі рознасць ${\displaystyle u-v}$ дзеліцца (цалкам) на ${\displaystyle w}$. Гэта запісваецца так: ${\displaystyle ~u\equiv v{\pmod {w}}.}$

Уласцівасці параўнанняў у ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання ${\displaystyle 1+i}$. Тады ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ разбіваецца на два класы вылікаў: лікі ${\displaystyle a+bi}$, у якіх ${\displaystyle a,b}$ аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю ${\displaystyle a,b}$ — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі ${\displaystyle 0;\ 1;\ 2,}$ то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:

${\displaystyle 0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i.}$

Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю ${\displaystyle a+bi}$ утрымлівае ${\displaystyle ~N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$ элементаў^[20]. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што ${\displaystyle (a^{p}-a)}$ дзеліцца на ${\displaystyle p}$ для любога простага ${\displaystyle p}$ і натуральнага ${\displaystyle a}$. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі ${\displaystyle p}$; напрыклад, для цэлых лікаў ${\displaystyle a^{3}-a}$ заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых ${\displaystyle i^{3}-i=-2i}$, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам^[20]:

Для простага гаусавага ліку ${\displaystyle w=a+bi}$ і любога гаусавага ліку ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (u^{N(w)}-u)=(u^{a^{2}+b^{2}}-u)}$ дзеліцца на ${\displaystyle w.}$

Праверым на тым жа прыкладзе з ${\displaystyle w=3;u=i.}$ Атрымаем: ${\displaystyle ~(i^{9}-i)=0}$ — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю ${\displaystyle w,}$ у якім утрымліваецца лік ${\displaystyle u,}$ абарачальным, калі параўнанне

${\displaystyle ~ux\equiv 1{\pmod {w}}}$

мае рашэнне адносна ${\displaystyle x.}$ Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle w}$ узаемна простыя^[20]. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў ${\displaystyle w}$ — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, як і ў ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ утвараюць поле.

Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да n», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне^[20]:

Функцыя Эйлера ${\displaystyle \varphi (z)}$ для гаусавага ліку ${\displaystyle z}$ вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю ${\displaystyle z.}$

Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі ${\displaystyle z}$ — просты гаусаў лік, то^[20]:

${\displaystyle \varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1).}$

Прыклад:

${\displaystyle \varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.}$

Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера^[20]:

Калі гаусаў лік ${\displaystyle z}$ узаемна просты з модулем ${\displaystyle w,}$ то: ${\displaystyle z^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w}}}$

Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю ${\displaystyle w=1+2i.}$ Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя ${\displaystyle ~1+2i.}$ Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю ${\displaystyle w}$, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную ${\displaystyle w,}$ таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная ${\displaystyle w.}$ Адсюль вынікае канчатковы вывад^[20]:

Гаусавы лікі параўнальныя па модулю ${\displaystyle w}$ тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных.

Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

У колцы ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка^[21]:

Любы гаусаў лік ${\displaystyle u}$ можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік ${\displaystyle v}$, г. зн. прадставіць у выглядзе: ${\displaystyle u=vq+r,}$ тут дзель ${\displaystyle q}$ і астача ${\displaystyle r}$ — гаусавы лікі, прычым ${\displaystyle N(r)<N(v).}$

Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў^[22].

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ у адрозненне ад ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ астача неадназначная. Напрыклад, ${\displaystyle ~7+2i}$ можна раздзяліць на ${\displaystyle ~3-i}$ двума спосабамі:

${\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3.}$

Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю ${\displaystyle 11+10i}$ на ${\displaystyle 4+i}$. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:

${\displaystyle {\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i}$

Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен ${\displaystyle 3+2i,}$ тады астача роўная ${\displaystyle ~11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.}$ У выніку атрымліваем:

${\displaystyle 11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i.}$

Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі^[23].

Найбольшым агульным дзельнікам НАД${\displaystyle (u,v)}$ для гаусавых лікаў ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік ${\displaystyle d}$, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v.}$

Эквівалентнае азначэнне: НАД${\displaystyle (u,v)}$ ёсць той агульны дзельнік ${\displaystyle u,v}$, у якога норма найбольшая^[24].

Уласцівасці НАД

• Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
• Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
• Мае месца аналаг суадносін Безу^[25]:

Няхай ${\displaystyle u,v}$ — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі ${\displaystyle x,y}$, што спраўджваюцца суадносіны: НАД${\displaystyle (u,v)=xu+yv.}$

Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.

• Вынік суадносін Безу^[25]: калі гаусавы лікі ${\displaystyle u,v}$ узаемна простыя, то ўраўненне

${\displaystyle ~xu+yv=1}$

адносна ${\displaystyle x,y}$ мае рашэнне ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$ Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

Для вызначэння НАД ў ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача^[26]. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў ${\displaystyle x,y}$ у суадносінах Безу^[20].

Прыклад 1. Знойдзем НАД для ${\displaystyle 32+9i}$ і ${\displaystyle 4+11i.}$

Крок 1: ${\displaystyle 32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i}$ (падзялілі з астачаю першы лік на другі)

Крок 2: ${\displaystyle 4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i}$ (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)

Крок 3: ${\displaystyle 2-5i=(3-i)(1-i)-i}$ (тое ж дзеянне)

Крок 4: ${\displaystyle 3-i=(-i)(1+3i)}$ (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)

Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная ${\displaystyle -i}$, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для ${\displaystyle 11+3i}$ і ${\displaystyle 1+8i.}$

Крок 1: ${\displaystyle 11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i}$

Крок 2: ${\displaystyle 1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)}$

Крок 3: ${\displaystyle 2-4i=(-1+2i)(-2)}$ (лік падзяліўся цалкам)

Апошняя ненулявая астача роўная ${\displaystyle -1+2i}$, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:

${\displaystyle -1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i).}$

Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў^[27]. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду ${\displaystyle 4n+1}$ можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: ${\displaystyle ~29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}.}$

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, ${\displaystyle 15;19;27;103}$ і іншыя лікі віду ${\displaystyle 4n+3}$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад^[27]: ${\displaystyle ~65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.}$

Агульная тэарэма^[17]:

Натуральны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў тады і толькі тады, калі ў яго кананічнае раскладанне ўсе простыя множнікі віду ${\displaystyle 4n+3}$ уваходзяць у цотных ступенях.

Прыклад: ${\displaystyle 35=5\cdot 7}$ нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік ${\displaystyle 7=4\cdot 1+3}$ мае няцотную ступень. Але ${\displaystyle 35\cdot 7=5\cdot 7^{2}}$ прадставіць можна: ${\displaystyle 245=7^{2}+14^{2}.}$

Лік прадстаўленняў ${\displaystyle \rho (m)}$ натуральнага ліку ${\displaystyle m}$ у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам^[28]. Раскладзём ${\displaystyle m}$ на простыя натуральныя множнікі:

${\displaystyle m=2^{\lambda }p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{r}^{\lambda _{r}}q_{1}^{\mu _{1}}q_{2}^{\mu _{2}}\dots q_{s}^{\mu _{s}},}$

тут ${\displaystyle p_{i}}$ — множнікі віду ${\displaystyle 4n+1,}$ а ${\displaystyle q_{j}}$ — множнікі віду ${\displaystyle 4n+3.}$ Тады магчымыя 3 выпадкі.

1. Калі хаця б адзін паказчык ступені ${\displaystyle \mu _{j}}$ няцотны, лік ${\displaystyle m}$ нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
2. Няхай усе ${\displaystyle \mu _{j}}$ цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці ${\displaystyle \lambda _{i}.}$ Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+1].}$

3. Калі не ўсе ${\displaystyle \lambda _{i}}$ цотныя, то формула трохі адрозніваецца:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1).}$

Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$

Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў ${\displaystyle m,n}$:

${\displaystyle x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}.}$

Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай ${\displaystyle a+bi}$ — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты ${\displaystyle a,b}$ ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік ${\displaystyle ~c+di.}$ Тады тройка ${\displaystyle ~\{|c|;|d|;N(c+di)\}}$ будзе піфагоравай^[27].

Прыклад: для зыходнага ліку ${\displaystyle ~17+12i}$ атрымліваем піфагораву тройку: ${\displaystyle ~(145;408;433).}$

Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення ${\displaystyle ~x^{2}+y^{2}=2z^{2}}$ нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў^[29], залежных ад цэлых параметраў ${\displaystyle a,b}$:

1. ${\displaystyle x=a^{2}-2ab-b^{2},\;y=a^{2}+2ab-b^{2};}$
2. ${\displaystyle x=-a^{2}-2ab+b^{2},\;y=a^{2}-2ab-b^{2}.}$

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне ${\displaystyle ~x^{2}+1=y^{n}}$ і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду ${\displaystyle ~n^{2}+1}$ няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую^[27].

• Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую R. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «Гаусава праблема круга» ў геаметрыі лікаў^[30]. Гл. паслядоўнасць A000328 у OEIS.
• Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя^[31].
• Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана^[32].

Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца ${\displaystyle \mathbb {Q} (i),}$ — гэта камплексныя лікі віду ${\displaystyle a+bi}$, дзе ${\displaystyle a,b}$ — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі»^[3].

У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу^[3].

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях^[33]. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

• Еўклідава колца
• Квадратычнае поле
• Кватэрніён Гурвіца
• Гаусава праблема круга
• Простыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлыя лікі Эйзенштэйна
• Цэлы элемент
• Фактарыяльнае колца

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
• Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
• Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I.
• Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.(недаступная спасылка)
• Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14-22.
• Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 с.

• Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 14 чэрвеня 2006. Праверана 11 верасня 2013.
• Butler, Lee A.. A classification of gaussian primes (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 16 верасня 2012. Праверана 11 верасня 2013.
• Conrad, Keith.. The gaussian integers (англ.). Праверана 11 верасня 2013.