Стэван Явеціч дэбютаваў на прафесійным узроўні за клуб «Партызан» (Бялград) 9 красавіка 2006 года, у 16-гадовым узросце. 2 жніўня 2007 года, у 17-гадовым узросце, зрабіў свой першы хет-трык у матчы Кубка УЕФА са «Зрыньскім»[3]. Пасля сыходу ў дортмундскую «Барусію»Антоніа Рукавіны Явеціч замяніў яго на пасадзе капітана каманды, стаўшы самым маладым капітанам у гісторыі клуба ва ўзросце 17 гадоў, 10 месяцаў і 21 дня (папярэдні рэкорд належаў Альберту Надзю, якому было 19 гадоў)[4]. 31 кастрычніка 2012 года яшчэ маладзейшым за Явеціча капітанам стане Нікола Нінкавіч[5].
10 мая 2008 года клуб Серыі А«Фіярэнціна» набыў нападніка за 8 млн фунтаў. Першы свой гол за новы клуб Явеціч забіў з пенальці 5 красавіка 2009 у браму «Аталанты»[6].
На перадсезоннай трэніроўцы ў 2010 годзе Стэван Явеціч атрымаў траўму і быў вымушаны прапусціць увесь сезон[7]. Наступны сезон пачаў у выдатнай форме, адразу зрабіўшы дубль у матчы з «Пармай».
19 ліпеня 2013 года перайшоў у клуб англійскай Прэм’ер-лігі«Манчэстэр Сіці» за суму £22 мільёны[8]. Ён выбраў сабе 35 нумар, такі, які меў і ў «Партызане». Дэбют за манчэстэрскі клуб адбыўся 14 верасня ў выязным матчы супраць «Сток Сіці»[9], а першы гол забіў 24 верасня ў браму «Уігана»[10].
31 ліпеня 2015 года было абвешчана аб пераходзе Явеціча ў італьянскі «Інтэрнацыянале» на правах палутарагадавой арэнды з правам выкупу[11]. У ліпені 2016 года міланцы актывіравалі опцыю выкупу Явеціча. Аднак, у сезоне 2016/17 ён страціў месца ў складзе «Інтэрнацыянале», правёўшы за паўгады толькі пяць матчаў Серыі A.
У студзені 2017 года на правах арэнды далучыўся да «Севільі»[12]. Дэбютаваў за клуб 12 студзеня, забіўшы гол у браму мадрыдскага «Рэала» ў Кубку Іспаніі (выніковы лік 3:3). Праз тры дні зноў забіў «Рэалу», ужо ў чэмпіянаце, чым прынёс «Севільі» перамогу і перарваў 40-матчавую серыю мадрыдскага клуба без паражэнняў. У чэрвені 2017 года «Севілья» адмовілася выкупляць нападніка ў «Інтэра», і той вярнуўся ў Італію.
У жніўні 2017 года падпісаў чатырохгадовы кантракт з «Манака»[13]. Гуляў у клубе да канца сезона 2020/21.
У ліпені 2021 года стаў іграком берлінскай «Герты», падпісаўшы двухгадовы кантракт. Пакінуў клуб па заканчэнні сезона 2022/23. У верасні 2023 года далучыўся да грэчаскага «Алімпіякоса».
Міжнародная кар’ера
Явеціч у форме нацыянальнай зборнай
Явеціч трапіў у першы склад зборнай Чарнагорыі, упершыню скліканай у 2007 годзе, і рэгулярна выклікаўся ў моладзевую зборную[14]. Першы гол на міжнародным узроўні забіў 20 жніўня 2008 года ў выязным матчы са зборнай Венгрыі.
.svg){kind=small}
