Xeometría euclidiana

Denomínase xeometría euclidiana (términu emplegáu pa estremala de la xeometría euclídea, que ye la que desixe'l postuláu de les paraleles) a la xeometría atropada pol matemáticu griegu clásicu Euclides, nel so llibru Los elementos, escritu alredor de 300 años enantes de Xesucristu.

La xeometría euclidiana ye aquella qu'estudia les propiedaes del planu y l'espaciu tridimensional. N'ocasiones los matemáticos usen el términu pa englobar xeometríes de dimensiones cimeres con propiedaes asemeyaes. Por embargu, de vezu, xeometría euclidiana ye sinónimu de xeometría plana.

Asiomática

La presentación tradicional de la xeometría euclidiana faise nun formatu asiomáticu. Un sistema asiomáticu ye aquel que, de magar un ciertu númberu de postulaos que s'asumen verdaderos (conocíos como axomes) y al traviés d'operaciones lóxiques, xenera nuevos postulaos nos que'l valir de verdá ye tamién positivu.

Euclides plantegó cinco postulaos nel so sistema:

  1. Daos dos puntos pue trazase una y namái una reuta que los xune.
  2. Cualquier segmentu pue enanchase de manera continua en cualquier sentíu.
  3. Pue trazase una circunferencia con centru en cualquier puntu y de cualquier radiu.
  4. Tolos ángulos reutos son pareyos.
  5. Si una reuta al cortar a otres dos forma ángulos internos menores a un ángulu reutu, eses dos reutes enanchaes indefinidamente curtiense del llau nel que tán los ángulos menores que dos reutos.

Esti caberu postuláu, que ye conocíu como'l postuláu de les paraleles, foi reformuláu como; Per un puntu esterior a una reuta, pue trazase una única paralela.

Esti postuláu paez menos nidiu que los otros cuatro, y munchos xeómetres tentaron en vanu deducilu. Al construyise la xeometría hiperbólica amosóse qu'esto nun yera posible yá que nesti tipu d'espacios, s'amuesa que'l quintu postuláu ye falsu demientres el restu sostiense. Tamién notóse qu' el conxuntu d'asiomes escoyíu por Euclides ye incompletu.

Llendes

Euclides utiliza fechos non amosaos nin postulaos nos sos teoremes dende'l primeru, anque son coses tan sutiles que pasaron inalvertíes demientres munchu tiempu.

Pa que'l sistema d'euclides fuere completu habría d'añader al menos dos postulaos más:

  • Dos circunferencies separtaes menos de 2R curtiense en dos puntos (Euclides lo utiliza na su primera construcción)
  • Dos triángulos con dos llaos iguales y el so ángulu igual son parexos (equival al conceutu de movimientu, qu'Euclides usa pal so teorema cuarto ensin definir esplícitamente)

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