Ecuación de primer grau
ecuación algebraica (es)
ensin valor Ecuación de primer grau Ecuación de segundu grau

Una ecuación de primer grau o ecuación llinial ye una igualdá qu'arreya una o más variables a la primer potencia y nun contién productos ente les variables, esto ye, una ecuación qu'arreya solamente sumes y restes d'una variable a la primer potencia. En tou aniellu conmutativu pueden definise ecuaciones de primer grau.

Una ecuación d'una variable ${\displaystyle mx+n=0}$ definida sobre un cuerpu ${\displaystyle \mathbb {K} }$, esto ye, con ${\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0}$ onde x ye la variable, almite la siguiente solución:

${\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}$

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos d'un aniellu que nun ye un cuerpu, l'asuntu ye más complicáu una y bones namái van esistir soluciones cuando m estrema a n:

${\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}$

Nel sistema cartesianu representen rectes. Una forma común de les ecuaciones lliniales de dos variables ye:

${\displaystyle y=mx+n}$;

Onde ${\displaystyle m}$ representa la pendiente y el valor de ${\displaystyle n}$ determina'l puntu onde la recta curtia a la exa Y (la ordenada al orixe).

Dellos exemplos d'ecuaciones lliniales:

${\displaystyle 3x+2y=5}$

${\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}$

${\displaystyle x-y+z=15}$

${\displaystyle 3x-2y+z=20}$

${\displaystyle x+4y-3z=10}$

Formes complexes como les anteriores pueden reescribise usando les regles de la álxebra elemental en formes más simples. Les lletres mayúscules representen constantes, mientres x y y son variables.

• Ecuación xeneral

${\displaystyle Ax+By+C=0}$

Equí A y B nun son dambos cero. Representa una llinia nel cartesianu. Ye posible atopar los valores onde x y y anúlense.

• Ecuación segmentaria o simétrica

${\displaystyle {\frac {x}{Y}}+{\frac {y}{F}}=1}$

Equí nin Y nin F nun pueden ser cero. El gráficu d'esta ecuación curtia a la exa X y a la exa Y en Y y F respeutivamente.

• Forma paramétrica

1. ${\displaystyle x=Ut+x_{0}}$
2. ${\displaystyle y=Vt+y_{0}}$

Dos ecuaciones que tienen de cumplise de manera simultánea, caúna na variable t. Puede convertise a la forma xeneral estenando t en dambes ecuaciones ya igualando. Nesta representación puede afirmase que la recta pasa pol puntu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ y forma cola exa de abcisas un ángulu que la so tanxente satisfai: ${\displaystyle \tan \alpha =V/O}$

• Casos especiales:

${\displaystyle y=F}$

Un casu especial ye formar estándar onde ${\displaystyle A=0}$ y ${\displaystyle B=1}$ . El gráficu ye una llinia horizontal ensin interseición cola exa X o (si F = 0) coincidente con esa exa.

${\displaystyle x=Y}$

Otru casu especial de la forma xeneral onde ${\displaystyle A=1}$ y ${\displaystyle B=0}$. El gráficu ye una llinia vertical, interceptando la exa X en Y.

${\displaystyle 0=0}$

Nesti casu, toles variables fueron atayaes, dexando una ecuación que ye verdadera en tolos casos. La forma orixinal (non una tan trivial como la del exemplu), ye llamada identidá. El gráficu ye tol planu cartesianu, yá que lo satisfai tou par de númberos reales x y y.

Nótese que si la manipulación alxebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entós la orixinal ye llamada inconsistente, esto ye que nun se cumple pa nengún par de númberos x y y. Un exemplu podría ser: ${\displaystyle 3x+2=3x}$.

Adicionalmente podría haber más de dos variables, n'ecuaciones simultánees. Pa más información véa: Sistema llinial d'ecuaciones.

Les ecuaciones lliniales de delles variables almiten tamién interpretaciones xeométriques, cuando los coeficientes de la ecuación pertenecen a un cuerpu. Asina una función llinial de dos variables de la forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa una recta nun planu. En delles variables asumiendo que tanto les variables ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }$ y los coeficientes ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$, onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ye un cuerpu entós una ecuación llinial como la siguiente:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}$

representa un hiperplano de n-1 dimensiones nel espaciu vectorial n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$.

Los sistemes d'ecuaciones lliniales espresen delles ecuaciones lliniales simultáneamente y almiten un tratamientu matricial. Pal so resolución tien d'haber tantes ecuaciones como incógnites y el determinante de la matriz hai de ser real y non nulu. Geométricamente correspuenden a interseiciones de llinies nun únicu puntu (sistema llinial de dos ecuaciones con dos incógnites), planos nuna recta (dos ecuaciones lliniales de tres incógnites) o un únicu puntu (tres ecuaciones lliniales de tres incógnites). Los casos nos que'l determinante de la matriz ye nulu nun tener solución.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\,x&-&3\,y&+&4\,z&=&8\\-3\,x&+&2\,y&+&6\,z&=&5\\4\,x&-&5\,y&+&3\,z&=&3\end{array}}\right.}$

Si considérense n ecuaciones de primer grau linealmente independientes definíes sobre un cuerpu entós esiste solución única pal sistema si dan les condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada por aciu la regla de Cramer que ye aplicable a cualquier cuerpu. Si les ecuaciones nun son linealmente independientes o nun se dan les condiciones del teorema la situación ye más complicada. Si'l sistema plantégase sobre un aniellu conmutativu que nun seya un cuerpu, la esistencia de soluciones ye tamién más complexes.

Una función definida sobre un espaciu vectorial ye llinial si y solu si cumplir cola siguiente proposición:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$

Onde α ye cualesquier esguilar. Tamién se llama a f operador llinial.

• Función llinial
• Ecuación de segundu grau

Weisstein, Eric W. «Ecuación llinial» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

• Exercicios d'ecuaciones de primer grau