يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يونيو 2024)

  لمعانٍ أخرى، طالع معيار (توضيح).

في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار أو نظيم (بالإنجليزية: Norm)‏ هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما. بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف).

ليكن ${\displaystyle E}$ فضاء متجهي معرف على حقل ${\displaystyle K}$مزود بقيمة مطلقة ${\displaystyle |\centerdot |}$

نعرف المعيار على أنه كل دالة ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {N}}:\quad &E\longrightarrow \mathbb {R} \\&x\longmapsto {\mathcal {N(x)}}\\\end{alignedat}}}$$حيث : ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad {\mathcal {\forall }}\lambda \in K}$

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=0\quad \Longrightarrow \quad x=0_{E}}$ (حيث ${\displaystyle 0_{E}}$هي المتجهة المنعدمة ) .
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\lambda x)=|\lambda |\operatorname {\mathcal {N}} (x)}$ (التجانس المطلق).
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)}$ (متباينة المثلث).

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ خاصية أخرى وهي ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\geq 0}$ لكل ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle E}$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

${\displaystyle 0={\mathcal {N}}(0_{E})={\mathcal {N}}(x+(-x))\leq {\mathcal {N}}(x)+|-1|{\mathcal {N}}(x)=2{\mathcal {N}}(x)}$$${\displaystyle \Longrightarrow \qquad 0\leq {\mathcal {N}}(x)}$$

في فضاء متجهي إقليدي ${\displaystyle E}$ وهو فضاء متجهي ${\displaystyle E}$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$ مزود بجداء سلمي ${\displaystyle \langle x|y\rangle }$ (لكل عنصر${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$من ${\displaystyle E}$) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x\rVert _{2}:={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$

في حالة المثال ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}.y_{k}}$

• فضاء متجهي معياري

||x|| و ||−x|| ليسا بالضرورة متساويين.

في كومنز صور وملفات عن Vector norms.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.