هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أكتوبر 2024)

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يناير 2022)

مبرهنة غرونويل

معلومات عامة

سُمِّي باسم	توماس هاكن غرونفل ريتشارد بيلمان
يدرسه	تفاضل وتكامل
زمن الاكتشاف أو الاختراع	1919
تعريف الصيغة	${\displaystyle {\begin{aligned}&u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\quad \forall t\in I^{\circ }\\\implies &u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}\quad \forall t\in I\end{aligned}}}$
الرموز في الصيغة	${\displaystyle I}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \exp }$

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

هذه المقالة بحاجة لمراجعة خبير مختص في مجالها. يرجى من المختصين في مجالها مراجعتها وتطويرها. (أبريل 2016)

سميت متباينة غرونفل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضياتي توماس هاكن غرونفل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المتبانية من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المتباينة في صيغتين: تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر متباينة غرونفل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المتباينة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

لو كانت، لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، ${\displaystyle \phi (t)\geq 0}$ و${\displaystyle \psi (t)\geq 0}$ دالتين مستمرتين حيث:

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، حيث ${\displaystyle K}$ و${\displaystyle L}$ ثابتين موجبين فإن :

${\displaystyle \phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة:

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

فإن لدينا اللامساواة التالية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}(t)\leq L\psi (t)\phi (t).}$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

${\displaystyle \phi (t)\leq \phi (t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}.}$

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.