لو أن العدد الأولي p يقسم حاصل الضرب ab للعددين الصحيحين a و b, فإن p يقسم على الأقل واحد من هذين العددين الصحيحين a أو b. — توطئة إقليدس
كمثال، لو كان p = 19، a = 133، b = 143، إذا ab = 133 × 143 = 19019، وبما أن هذه القيمة قابلة للقسمة على 19، فبحسب التوطئة يكون أحد العددين 133 أو 143 أو كليهما قابلا للقسمة على 19. وبالفعل نجد أن 133 = 19 × 7.
مبرهنة — إذا كانت عددا أوليا قاسما لجداء وغير قاسمة لـ فهي إذا قاسمة لـ
يمكن تعميم توطئة إقليدس من الأعداد الأولية إلى أي أعداد صحيحة على النحو التالي.
مبرهنة — إذا كان العدد الصحيح n قاسما لجداء العددين الصحيحينab, وكان أوليا نسبيا مع a, فإن n يقسم b.
هذا تعميم لأن العدد الأولي p هو أولي نسبيا مع العدد الصحيح aإذا وفقط إذا كان p لا يقسم a.
تاريخ
ظهرت التوطئة لأول مرة كمبرهنة رقم 30 في الكتاب السابع من أصولإقليدس. وضمنيا هو جزء في أي كتاب يغطي نظرية الأعداد الأولية.[4][5][6][7][8]
ظهر تعميم التوطئة للأعداد الصحيحة عام 1681 في كتاب جان برستيهNouveaux Elémens de Mathématiques.[9]
ظهرت التوطئة في أطروحةجاوسDisquisitiones Arithmeticae، كمبرهنة إقليدس رقم 14 (القسم 2)، والني استخدمها جاوس لإثبات تفرد ناتج تحليل عدد صحيح لعوامله الأولية (نظرية 16)، مقرا ببديهية هذا الأمر. ومن ثم يصل لتعميم الأعداد الأولية على الأعداد الصحيحة.[10] لهذا السبب، يُشار أحيانًا لتعميم توطئة إقليدس باسم توطئة جاوس، ولكن يعتقد البعض أن هذا الاستخدام غير صحيح[11] بسبب الخلط بينها وبين توطئة جاوس للبواقي التربيعية.