يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يناير 2022)

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (فبراير 2016)

تنص مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين على أن أي عدد أولي فردي p, يمكن أن يكتب على الشكل التالي :

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

حيث x و y عددا صحيحان، إذا وفقط إذا كان p مساويا ل 1 بتردد 4.

نجح أويلر في البرهان على هذه المبرهنة سنة 1749 وعمره الاثنان والأربعون. أدرج هذا البرهان في رسالة أرسلها إلى عالم الرياضيات الألماني كريستيان غولدباخ يعود تاريخها إلى 12 أبريل 1749. يعتمد البرهان على تقنية النزول غير المنتهي. يتمثل البرهان في خمس مراحل هن :

1. جداء عددين كل منهما مجموع مربعين، هو في حد ذاته، مجموع لمربعين

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

2.

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

انظر عدد صحيح غاوسي.

هذه بذرة مقالة عن موضوع له علاقة بالجبر بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.