في الرياضيات، حدوديات تشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev polynomials)‏ هي حدوديات يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف,^[1] هي متتالية من حدوديات متعامدة لها صلة بصيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة ذاتية الاستدعاء.

عادة هناك فرق بين حدوديات تشيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب T_n وبين حدوديات تشيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها U_n.

حدوديات تشيبيشيف T_n أو U_n هي حدوديات من الدرجة n ومتواليات كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون متواليات كثيرات حدود.

حدوديات تشيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود.

في مجال المعادلات التفاضلية، تأتي حدوديات تشيبيشيف حلولاً لمعادلة تشيبيشيف.

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}$

و

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}$

(الصنف الأول حل للمعادلة الأولى والثاني حل للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية.

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ T_n

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

ودالة التوليد الأسية هي

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}$

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

من أمثلة الدوال المولدة لـ U_n

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

النوع الأول:

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}$

حيث:

${\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!}$

لقيم n = 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني:

${\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,\!}$

لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:

${\displaystyle T_{0}(x)=\cos \ 0x\ =1\,\!}$

و:

${\displaystyle T_{1}(\cos(x))=\cos(x)\,\!}$

يمكن بيان أن:

${\displaystyle \cos(2\vartheta )=2\cos \vartheta \cos \vartheta -\cos(0\vartheta )=2\cos ^{2}\,\vartheta -1\,\!}$

${\displaystyle \cos(3\vartheta )=2\cos \vartheta \cos(2\vartheta )-\cos \vartheta =4\cos ^{3}\,\vartheta -3\cos \vartheta \,\!}$

وهكذا.

يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!}$

في حلقة R[x].^[2] بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}$

العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية

${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).}$

العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات

${\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,\ldots }$

تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.

بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل:

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}$

${\displaystyle U_{-1}(x)=0\,\!}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)\,}$

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\frac {3}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ هي دالة مثلثية زائدية.

من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود

${\displaystyle T_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}T_{2n}(x)}$

و

${\displaystyle U_{n}\left(1-2x^{2}\right)x=(-1)^{n}U_{2n+1}(x).}$

لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة n يوجد لها n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0}$

يمن إثبات أن جذور T_n هي

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

بالمثل جذور U_n هي

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:

${\displaystyle {\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,}$

${\displaystyle {\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,}$

إن كلا من T_n وU_n تكونان متواليات كثيرات حدود متعامدة. كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!}$

في الفترة (−1,1), أي أن:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}$

بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}$

على الفترة [−1,1], أي أن:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}$

لأي قيمة n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة nمع معامل أسبقية 1,

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$

هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.

هذه القيمة الأعظمية تكون

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$

و|ƒ(x)| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً n + 1 من المرات: عند

${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}{\text{ for }}0\leq k\leq n.}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x),}$
• ${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}$

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}$

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle T_9(x) = 256x^9 – 576x^7 + 432x^5 – 120x^3 + 9x. \,}

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي

${\displaystyle U_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}$

${\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}$

${\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}$

${\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}$

${\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}$

${\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}$

${\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}$

${\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}$

${\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,}$

في فضاء سوبوليف, تؤلف مجموعة كثيرات حدود شيبيشف مجموعة أساس مكتملة بحيث أن دالة في نفس الفضاء يمكن التعبير عنها على −1 ≤ x ≤ 1 بالنشر:^[3]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$

ليكن لدينا منشور شيبيشيف ${\displaystyle \log(1+x)}$. يمكن التعبير عنه

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$

كما يمكن إيجاد المعاملات ${\displaystyle a_{n}}$ إما بتطبيق الضرب الداخلي أو من شرط التعامدية المتقطعة. بطريقة الضرب الداخلي

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx,}$

نحصل على

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log(2)&:n=0\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&:n>0.\end{cases}}}$

بالمثل وعند عدم جدوى طريقة الضرب الداخلي نلجأ لطريقة شرط التعامدية المتقطعة فنحصل على

${\displaystyle a_{n}={\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\log(1+x_{k}),}$

حيث ${\displaystyle \delta _{ij}}$ هي دالة دلتا كرونكر و${\displaystyle x_{k}}$ هي N أصفار ${\displaystyle T_{N}(x)}$ من غاوس–لوباتو

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}$

وبحساب المعاملات ${\displaystyle a_{n}}$ بواسطة تحويل جيب التمام المتقطع

${\displaystyle a_{n}={\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})^{\alpha }=&-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+\alpha )}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\sum _{n=0}(-1)^{n}{2\alpha \choose \alpha -n}T_{2n}(x)\\=&2^{-2\alpha }\sum _{n=0}(-1)^{n}{2\alpha +1 \choose \alpha -n}U_{2n}(x).\end{aligned}}}$

• متعددات الحدود لهيرمت
• نظرية التقريب
• تباين الأخوين ماركوف