دالة إيتا لدركليه
η η -->
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
المستوى العقدي . لون نقطة ما
s
{\displaystyle s}
η η -->
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
العمدة . في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الأعداد التحليلية ، دالة إيتا لدركليه (بالإنجليزية : Dirichlet eta function ) معرفةً بمتسلسلة دركليه التالية، والتي تتقارب بالنسبة لأي عدد عقدي جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الصفر :
η η -->
(
s
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
− − -->
1
n
s
=
1
1
s
− − -->
1
2
s
+
1
3
s
− − -->
1
4
s
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
دالة إيتا لدركليه تشبه دالة زيتا لريمان (ζ(s، من حيث الحدود اللائي يتم جمعن إلا أن إشارة هؤلاء الحدود تتناوب (مرة موجبة ومرة سالبة) في دالة إيتا بينما تبقى موجبة دائما بالنسبة إلى دالة زيتا لريمان. لهذا السبب، تدعى دالة إيتا لدركليه دالة زيتا المتناوبة .[ 1]
η η -->
(
s
)
=
(
1
− − -->
2
1
− − -->
s
)
ζ ζ -->
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
انظر إلى متسلسلة غراندي .
η η -->
′
(
s
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
ln
-->
n
n
s
=
2
1
− − -->
s
ln
-->
2
ζ ζ -->
(
s
)
+
(
1
− − -->
2
1
− − -->
s
)
ζ ζ -->
′
(
s
)
{\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln 2\zeta (s)+(1-2^{1-s})\zeta '(s)}
η η -->
′
(
1
)
=
ln
-->
(
2
)
γ γ -->
− − -->
ln
-->
(
2
)
2
/
2
{\displaystyle \eta '(1)=\ln(2)\gamma -\ln(2)^{2}/2}
