هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يونيو 2023)

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يونيو 2023)

تكامُلَا S(x) و C(x) لفرينل هما دالتان متساميتان تم تسميتهما على اسم العالم الفرنسي أوغستان-جان فرينل واللتان تُستخدَم في البصريات وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة الخطأ (erf). ظهرت هتان الدالتان في وصف ظواهر حيود فرينل في المجال القريب وتُعَرَّف من خلال التمثيلات التكاملية التالية:$${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}$$الرسوم البيانية الوسيطية المتزامنة لـ S(x) و C(x) هي عبارة عن حلزون أويلر.

تقبل تكاملا فرينل متسلسلتي القوة التاليتان اللتان تتقاربان من أجل كل x :$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$$بعض الجداول المستخدمة على نطاق واسع تستخدم π/2t² بدلاً من t² لمدخل التكاملين اللتين تُعَرِّفان S(x) و C(x). هذه تغير نهايتهما عند اللانهاية من 1/2·√π/2 إلى 1/2 وطول القوس لأول دورة الخط الحلزوني من √2π إلى 2 (عند t = 2). تُعرف هتان الدالّتان البديلتان عادةً باسم تكاملَيْ فرينل المعياريتين.

هذه بذرة مقالة عن البصريات بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.