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O teorema de Bayes ye un d'os teoremas mas emplegaus en a teoría d'a probabilitat. Formulau por Thomas Bayes ye una traza particular de relacionar dos probabilidaz ta contrimostrar a relación entre a probabilidat d'un escaiximiento condicionada a o succeso d'un segundo escaiximiento y a probabilidat d'iste segundo escaiximiento condicionada a o succeso d'o primero, ye decir, entre ${\displaystyle P(A|B)}$ y ${\displaystyle P(B|A)}$.

Siga ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ una partición de l'espacio E y siga B un escaiximiento cualsiquiera. D'a expresión d'a probabilidat condicionada, si ${\displaystyle P(B)\neq 0}$, se defineixe a probabilidat d'ocurrencia d'o succeso A condicionada a B como

${\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B)}}}$

y nos da a probabilidat de A en que ya se sabe que s'ha verificau o succeso B y, por tanto,

${\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})}}}$.

Ista traza de relacionar as probabilidaz condicionadas ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ y ${\displaystyle P(B|A_{j})}$ d'o primer y zaguer termins d'a igualdat ye muit util y se clama formula de Bayes.

I ha una versión d'o teorema de Bayes que se puet aplicar a variables aleatorias continas. A expresión d'ixa versión d'o teorema ye:

${\displaystyle f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}={\frac {f(y|x)\,f(x)}{f(y)}}\!}$

u, de traza equivalent

${\displaystyle f(x|y)={\frac {f(y|x)\,f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }f(y|x)\,f(x)\,dx}}.\!}$

A nomenclatura ye a siguient: f(x, y) ye a función de densidat conchunta de X y Y, f(x|y) ye a densidat de X condicionada a Y=y (de vegadas tamién clamada distribución a posteriori de X), f(y|x) =  y f(x) i f(y) son as funcions de densidat marguinals de X y Y respectivament (de vegadas a f(x) se le diz distribución a priori de X).

En l'anterior nomenclatura anterior s'abusa liucherament d'a notación, ya que se fa servir f ta toz os termins, encara que cadaguno en realidat ye una función diferent. As funcions son de buen distinguir por o nombre d'os suyos argumentos.

I ha una versión cheneral d'o teorema de Bayes que ye valida ta variables aleatorias continas y discretas, igual como ta cualsiquier dos variables ta las cuals diposemos d'a derivada de Radon-Nykodim d'a suya distribución de probabilidat respecto a una mesura sigma-finita.

Siga ${\displaystyle P_{X}}$ a mesura de probabilitat de X, ${\displaystyle \mu _{X}}$ una mesura sigma-finita que domina a ${\displaystyle P_{X}}$, y clamemos ${\displaystyle f_{X}={\frac {dP_{X}}{d\mu _{X}}}}$ a la derivada de Radon-Nykodim de ${\displaystyle P_{X}}$ respecto a ${\displaystyle \mu _{X}}$. Definamos de traza analoga ${\displaystyle P_{Y}}$, ${\displaystyle \mu _{Y}}$ y ${\displaystyle f_{Y}={\frac {dP_{Y}}{d\mu _{Y}}}}$. Consideremos a mesura de probabilitat conchunta ta (X,Y), que ye dominada por a mesura producto ${\displaystyle \lambda =\mu _{X}\times \mu _{Y}}$, y clamemos ${\displaystyle f_{(X,Y)}={\frac {dP_{(X,Y)}}{d\lambda }}}$. Alavez a derivada de Radon-Nykodim d'a mesura de probabilitat de X condicionada a la sigma-algebra orichinada por, ${\displaystyle f_{(X|Y)}={\frac {dP_{(X|Y)}}{d\mu _{X}}}}$, satisfá:

${\displaystyle f_{(X|Y)}={\frac {f_{(X,Y)}}{f_{Y}}}}$.

Si X y Y son variables aleatories discretas, ista formula ye equivalent a la versión orichinal d'o teorema de Bayes. Si tanto X como Y son variables aleatories continas, ista formula ye equivalent a la versión d'o teorema ta funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Manimenos, ista versión ye mas cheneral y se puet aplicar, por eixemplo, mesmo cuan X ye contina y Y ye discreta.

Ista versión d'o teorema se puet cheneralizar ta o caso de tener mas de dos variables aleatorias. De feito, a cheneralización ye directa: nomás cal considerar que X y Y son vectors aleatorios en cuenta de variables aleatorias.