Unit imajiner

$i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

{\displaystyle i} — $i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ( $i$ ) adalah solusi untuk persamaan kuadrat $x$ ² $+1=0$ . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah $2+3i$ .

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil $\mathbb {R}$ ke sistem bilangan kompleks $\mathbb {C}$ , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial $P(x)$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu $i$ dan $-i$ , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks $j$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan $i$ , sebab $i$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan $j$ alih-alih $i$ , karena $i$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.^[1]

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari $i$ :
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah $-1$ :

i^{2}=-1.

Oleh karena itu,

i

dan

-i

sama-sama merupakan akar kuadrat dari

-1

.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan $i^{2}$ dengan −1). Perpangkatan dari $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan $-i$ , $1$ , $i$ , atau $-1$ :

{\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.

Sebagai bilangan kompleks, $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai $0+1i$ , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, $i$ dapat dinyatakan sebagai $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis $e^{i\pi /2}$ ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari $2\pi$ ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari

i

dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari

i

dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, $i$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu ^[a]

\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

{\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

{\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).

Tiga buah akar kubik dari $i$ adalah:^[3]

\left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari $i$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

^ Cara mencari akar kuadrat dari $i$ adalah dengan menyelesaikan persamaan ${\textstyle (x+iy)^{2}=i}$ dengan $x$ dan $y$ adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis $x^{2}+2ixy-y^{2}=i.$ Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi $x^{2}-y^{2}+2ixy=0+i.$ Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan: ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}$ Dengan mensubstitusi $y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}$ ke persamaan pertama, maka didapatkan $x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.$ Karena $x$ bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk $x$ . yaitu $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ dan $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ . Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan $2xy=1$ , maka didapatkan hasil yang sama untuk $y$ . Dengan demikian, akar kuadrat dari $i$ adalah ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ dan $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ .^[2]