Dalam matematika, parabola adalah kurva bidang yang simetris cermin dan kira-kira berbentuk U. Ini cocok dengan beberapa deskripsi matematis lain yang berbeda, yang semuanya dapat dibuktikan untuk mendefinisikan kurva yang persis sama.
Satu deskripsi parabola melibatkan titik (fokus) dan garis (directrix). Fokusnya tidak terletak pada directrix. Parabola adalah tempat titik-titik di bidang itu yang berjarak sama jauh dari kedua directrix dan fokus. Deskripsi lain tentang parabola adalah sebagai bagian kerucut, dibuat dari persimpangan permukaan kerucut lingkaran kanan dan bidang yang sejajar dengan bidang lain yang bersinggungan dengan permukaan kerucut.[1]
Garis tegak lurus terhadap directrix dan melewati fokus (yaitu, garis yang membagi parabola melalui tengah) disebut "sumbu simetri". Titik di mana parabola memotong sumbu simetri disebut "Vertex" dan merupakan titik di mana parabola melengkung paling tajam. Jarak antara titik dan fokus, diukur sepanjang sumbu simetri, adalah "panjang fokus". "Latus rectum" adalah chord parabola yang sejajar dengan directrix dan melewati fokus. Parabola dapat membuka ke atas, ke bawah, ke kiri, ke kanan, atau ke arah sewenang-wenang lainnya. Parabola apa pun dapat diposisikan ulang dan disusun kembali agar sesuai dengan parabola lainnya — yaitu, semua parabola memiliki kesamaan geometris.
Parabola memiliki sifat bahwa, jika terbuat dari bahan yang memantulkan cahaya, maka cahaya yang bergerak sejajar dengan sumbu simetri parabola dan menyerang sisi cekungnya dipantulkan ke fokusnya, terlepas dari di mana pada parabola pantulan itu terjadi. Sebaliknya, cahaya yang berasal dari sumber titik pada fokus dipantulkan menjadi sinar paralel ("berkolusi"), meninggalkan parabola sejajar dengan sumbu simetri. Efek yang sama terjadi dengan suara dan gelombang lainnya. Properti reflektif ini adalah dasar dari banyak penggunaan praktis parabola.
Karya paling awal yang diketahui pada bagian kerucut oleh Menaechmus pada abad ke-4 SM. Dia menemukan cara untuk memecahkan masalah menggandakan kubus menggunakan parabola. (Namun, solusinya tidak memenuhi persyaratan konstruksi kompas-dan-sejajar.) Area yang dikelilingi oleh parabola dan segmen garis, yang disebut "segmen parabola", dihitung oleh Archimedes dengan metode penghabis di abad ke-3 SM, dalam bukunya The Quadrature of the Parabola. Nama "parabola" adalah karena Apollonius, yang menemukan banyak properti bagian kerucut. Ini berarti "aplikasi", merujuk pada konsep "aplikasi area", yang memiliki hubungan dengan kurva ini, seperti yang telah dibuktikan oleh Apollonius.[2] Properti fokus-directrix parabola dan bagian kerucut lainnya adalah karena Pappus.
Galileo menunjukkan bahwa jalur proyektil mengikuti parabola, konsekuensi dari percepatan seragam karena gravitasi.
Gagasan bahwa reflektor parabola dapat menghasilkan gambar sudah terkenal sebelum penemuan teleskop pemantul.[3] Desain diusulkan pada awal hingga pertengahan abad ke-17 oleh banyak ahli matematika, termasuk René Descartes, Marin Mersenne,[4] dan James Gregory.[5] Ketika Isaac Newton membangun teleskop pemantul pertama pada tahun 1668, ia melewatkan menggunakan cermin parabola karena kesulitan fabrikasi, memilih untuk cermin bulat. Cermin parabola digunakan di sebagian besar teleskop refleksi modern dan di piring satelit dan penerima radar.[6]
Parabola dapat didefinisikan secara geometris sebagai seperangkat titik (titik locus) dalam bidang Euclidean:
Titik tengah V {\displaystyle V} dari tegak lurus dari fokus F {\displaystyle F} ke directrix l {\displaystyle l} disebut vertex (puncak) , dan garis F V {\displaystyle FV} adalah sumbu simetri dari parabola.
Jika satu menghasilkan koordinat Cartesian, sedemikian rupa F = ( 0 , f ) , f > 0 , {\displaystyle F=(0,f),\ f>0,} dan directrix memiliki persamaan y = − − --> f {\displaystyle y=-f} , satu memperoleh titik P = ( x , y ) {\displaystyle P=(x,y)} dari | P F | 2 = | P l | 2 {\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}} persamaan x 2 + ( y − − --> f ) 2 = ( y + f ) 2 {\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}} . Menyelesaikan hasil y {\displaystyle y}
Parabola ini berbentuk U (bukaan ke atas).
Akor horisontal melalui fokus (lihat gambar di bagian pembukaan) disebut rektum latus; setengahnya adalah rektum semi-latus. Rektum latus sejajar dengan directrix. Rektum semi-latus ditunjuk oleh huruf p {\displaystyle p} itu. Dari gambar yang didapat
Rektum latus didefinisikan sama untuk dua kerucut lainnya - elips dan hiperbola. Latus rektum adalah garis yang ditarik melalui fokus bagian kerucut yang sejajar dengan directrix dan diakhiri dengan kurva. Bagaimanapun, p {\displaystyle p} adalah jari-jari lingkaran osculating pada vertex. Untuk parabola, rektum semi-latus, p {\displaystyle p} ,adalah jarak fokus dari directrix. Menggunakan parameter p {\displaystyle p} , persamaan parabola dapat ditulis ulang sebagai
Lebih umum, jika verteksnya V = ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle V=(v_{1},v_{2})} , Fokusnya F = ( v 1 , v 2 + f ) {\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)} , dan directrixnya y = v 2 − − --> f {\displaystyle y=v_{2}-f} , satu memperoleh persamaan
Jika fokusnya adalah F = ( f 1 , f 2 ) {\displaystyle F=(f_{1},f_{2})} , dan directrixnya a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} , kemudian salah satunya memperoleh persamaan
(sisi kiri persamaan menggunakan garis bentuk normal Hesse untuk menghitung jarak | P l | {\displaystyle |Pl|} ).
Untuk persamaan parametrik parabola pada posisi umum, lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola
Persamaan implisit dari parabola didefinisikan oleh polinomial tak tereduksi derajat dua:
seperti yang b 2 − − --> 4 a c = 0 , {\displaystyle b^{2}-4ac=0,} atau, ekuivalen, sedemikian rupa sehingga a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}} adalah kuadrat dari polinomial linier.
Bagian sebelumnya menunjukkan bahwa parabola dengan titik asal sebagai sumbu dan sumbu y sebagai sumbu simetri dapat dianggap sebagai grafik suatu fungsi
Untuk a > 0 {\displaystyle a>0} parabola membuka ke atas, dan untuk a < 0 {\displaystyle a<0} membuka ke bawah (lihat gambar). Dari bagian di atas diperoleh:
Untuk a = 1 {\displaystyle a=1} parabola adalah unit parabola dengan persamaan y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} . Fokusnya adalah ( 0 , 1 4 ) {\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)} , rektum semi-latus p = 1 2 {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}} , dan directrix memiliki persamaan y = − − --> 1 4 {\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}} .
Fungsi umum derajat 2 adalah:
Melengkapi hasil kuadrat
yang merupakan persamaan dari parabola dengan
Dua objek dalam bidang Euclidean serupa jika satu dapat ditransformasikan ke yang lain dengan kesamaan, yaitu, komposisi sewenang-wenang dari gerakan kaku (terjemahan dan rotasi) dan skala seragam.
Sebuah parabola P {\displaystyle {\mathcal {P}}} dengan Vertex V = ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle V=(v_{1},v_{2})} dapat diubah dengan terjemahan ( x , y ) → → --> ( x − − --> v 1 , y − − --> v 2 ) {\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})} untuk satu dengan asal sebagai vertex. Rotasi yang sesuai di sekitar titik asal kemudian dapat mentransformasikan parabola menjadi yang memiliki sumbu y sebagai sumbu simetri. Karena itu parabola P {\displaystyle {\mathcal {P}}} dapat ditransformasikan oleh gerakan kaku menjadi parabola dengan persamaan y = a x 2 , a ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0} . Parabola seperti itu kemudian dapat diubah oleh penskalaan seragam ( x , y ) → → --> ( a x , a y ) {\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)} ke dalam unit parabola dengan persamaan y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} . Dengan demikian, parabola apa pun dapat dipetakan ke unit parabola dengan kesamaan.[7]
Pendekatan sintetis, menggunakan segitiga serupa, juga dapat digunakan untuk menetapkan hasil ini.[8]
Hasil umum adalah bahwa dua bagian kerucut (tentu dari jenis yang sama) adalah serupa jika dan hanya jika mereka memiliki eksentrisitas yang sama.[7] Oleh karena itu, hanya lingkaran (semua memiliki keeksentrikan 0) berbagi properti ini dengan parabola (semua memiliki keeksentrikan 1), sedangkan elips umum dan hiperbola tidak.
Ada transformasi affine sederhana lain yang memetakan parabola y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} ke parabola unit, seperti ( x , y ) → → --> ( x , y a ) {\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)} . Tetapi pemetaan ini bukan kesamaan, dan hanya menunjukkan bahwa semua parabola setara setara (lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola).
Pensil bagian kerucut dengan sumbu x sebagai sumbu simetri, satu simpul pada titik asal (0, 0) dan rektum semi-latus yang sama p {\displaystyle p} dapat dinyatakan persamaan:
dengan e {\displaystyle e} keeksentrikan.
Definisi lain dari parabola menggunakan transformasi affine:
Transformasi affine dari bidang Euclidean memiliki bentuk x → → --> → → --> f → → --> 0 + A x → → --> {\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}} , dimana A {\displaystyle A} adalah matriks reguler (penentu bukan 0), dan f → → --> 0 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}} adalah vektor yang berubah-ubah. Jika f → → --> 1 , f → → --> 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} adalah vektor kolom dari matriks A {\displaystyle A} , unit parabola ( t , t 2 ) , t ∈ ∈ --> R {\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} } dipetakan ke parabola
Yang dimana:
Secara umum, dua vektor f → → --> 1 , f → → --> 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} tidak tegak lurus, dan f → → --> 0 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}} bukan verteks, kecuali transformasi afin adalah kesamaan.
Vektor singgung pada titik p → → --> ( t ) {\displaystyle {\vec {p}}(t)} is p → → --> ′ ( t ) = f → → --> 1 + 2 t f → → --> 2 {\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}} . Pada vertex vektor tangen adalah ortogonal f → → --> 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{2}} . Oleh karena itu parameternya t 0 {\displaystyle t_{0}} verteks adalah solusi dari persamaan
yang dimana:
dan Vertexnya adalah
Panjang fokusnya dapat ditentukan oleh transformasi parameter yang sesuai (yang tidak mengubah bentuk geometris parabola). Panjang fokusnya adalah
Karenanya fokus parabola adalah
Memecahkan representasi parametrik untuk t , t 2 {\displaystyle \;t,t^{2}\;} oleh aturan Cramer dan menggunakan t ⋅ ⋅ --> t − − --> t 2 = 0 {\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;} , salah satunta mendapatkan representasi implisit
Definisi parabola di bagian ini memberikan representasi parametrik parabola yang sewenang-wenang, bahkan di ruang angkasa, jika ada yang memungkinkan. f → → --> 0 , f → → --> 1 , f → → --> 2 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}} menjadi vektor dalam ruang.
Properti reflektif menyatakan bahwa jika parabola dapat memantulkan cahaya, maka cahaya yang masuk paralel dengan sumbu simetri dipantulkan ke arah fokus. Ini berasal dari optik geometris, berdasarkan pada asumsi bahwa cahaya bergerak dalam sinar. Dalam bukti berikut, fakta bahwa setiap titik pada parabola sama jauhnya dari fokus dan dari directrix diambil sebagai aksiomatik.
Pertimbangkan parabolanya y = x2. Karena semua parabola serupa, kasing sederhana ini mewakili yang lain. Sisi kanan diagram menunjukkan bagian parabola ini.
Titik E adalah titik arbitrer pada parabola, dengan koordinat (x, x2). Fokusnya adalah F, simpulnya adalah A (asal), dan garis FA (sumbu y) adalah sumbu simetri. Garis EC sejajar dengan sumbu simetri dan memotong sumbu x pada D. Titik C terletak pada directrix (yang tidak ditampilkan, untuk meminimalkan kekacauan). Titik B adalah titik tengah segmen garis FC.
Diukur sepanjang sumbu simetri, simpul A berjarak sama dari fokus F dan dari directrix. Menurut teorema intersep, karena C ada di directrix, Kordinat y F dan C sama dalam nilai absolut dan berlawanan dalam tanda. B adalah titik tengah dari FC, jadi begitu kordinat y adalah nol, karena itu terletak pada sumbu x. Koordinat x-nya adalah setengah dari E, D, dan C, yaitu, x / 2. Kemiringan garis BE adalah hasil bagi dari panjang ED dan BD, yaitu x2x/2 = 2x. Tapi 2x juga merupakan kemiringan (turunan pertama) parabola di E. Oleh karena itu, garis BE adalah garis singgung parabola di E.
Jarak EF dan EC sama karena E ada di parabola, F adalah fokus dan C ada di directrix. Karena itu, karena B adalah titik tengah dari FC, segitiga △FEB dan △CEB adalah kongruen (tiga sisi), yang menyiratkan bahwa sudut ditandai α kongruen. (Sudut di atas E adalah sudut yang berlawanan secara vertikal ∠BEC.) Ini berarti bahwa sinar cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang sejajar dengan sumbu simetri akan dipantulkan oleh garis BE jadi itu bergerak sepanjang garis EF, seperti yang ditunjukkan dengan warna merah dalam diagram (dengan asumsi bahwa garis-garis entah bagaimana dapat memantulkan cahaya). Sejak BE adalah bersinggungan dengan parabola di E, refleksi yang sama akan dilakukan oleh busur parabola yang sangat kecil di E. Oleh karena itu, cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang berjalan paralel dengan sumbu simetri parabola tercermin oleh parabola menuju fokusnya.
Titik E tidak memiliki karakteristik khusus. Kesimpulan ini tentang cahaya yang dipantulkan berlaku untuk semua titik pada parabola, seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri diagram. Ini adalah properti reflektif.
Ada teorema lain yang dapat disimpulkan hanya dari argumen di atas.
Bukti di atas dan diagram yang menyertainya menunjukkan bahwa garis singgung BE membagi dua sudut ∠FEC. Pada kata lain, garis singgung pada parabola pada suatu titik membagi dua sudut antara garis yang menghubungkan titik dengan fokus dan tegak lurus terhadap directrix.
Karena segitiga △FBE dan △CBE adalah kongruen, FB adalah tegak lurus terhadap garis singgung BE. Karena B ada pada sumbu x, yang bersinggungan dengan parabola di verteksnya, maka titik persimpangan antara sembarang parabola dengan yang tegak lurus dari fokus ke tangen itu terletak pada garis yang bersinggungan dengan parabola pada verteksnya. Lihat diagram animasi[9] dan kurva pedal.
Jika cahaya bergerak sepanjang garis CE, bergerak sejajar dengan sumbu simetri dan menyerang sisi cembung parabola di E. Jelas dari diagram di atas bahwa cahaya ini akan dipantulkan langsung dari fokus, di sepanjang perpanjangan segmen FE.
Bukti di atas sifat bisection reflektif dan tangen menggunakan garis kalkulus. Di sini bukti geometris disajikan.
Dalam diagram ini, F adalah fokus parabola, dan T dan U terletak pada directrix-nya. P adalah titik arbitrer pada parabola. PT adalah tegak lurus terhadap directrix, dan garis MP membagi dua sudut ∠FPT. Q adalah titik lain di parabola, dengan QU tegak lurus dengan directrix. Yang diketahui, FP = PT dan FQ = QU. Jelasnya, QT > QU, jadi QT > FQ. Semua titik pada garis-bagi MP sama dari F dan T, tetapi Q lebih dekat ke F daripada ke T. Ini berarti bahwa Q ada di sebelah kiri MP, yaitu, di sisi yang sama sebagai fokus. Hal yang sama akan benar jika Q terletak di tempat lain di parabola (kecuali pada titik P), sehingga seluruh parabola, kecuali titik P, berada di sisi fokus MP. Karena itu, MP adalah bersinggungan dengan parabola di P. Karena membagi dua sudut ∠FPT, ini membuktikan sifat membagi dua garis singgung.
Logika paragraf terakhir dapat diterapkan untuk memodifikasi bukti properti reflektif di atas. Ini secara efektif membuktikan garis BE menjadi bersinggungan dengan parabola di E jika sudut α adalah sama. Properti reflektif mengikuti seperti yang ditunjukkan sebelumnya.
Definisi parabola berdasarkan fokus dan directrix dapat digunakan untuk menggambarnya dengan bantuan pin dan string:[10]
Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai f. Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah 2f, dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada a 45° derajat.[11]:p.26
Jika dua garis singgung parabola saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.
Biarkan tiga garis singgung ke parabola membentuk segitiga. Kemudian Teorema Lambert menyatakan bahwa fokus parabola terletak pada lingkaran dari segitiga.[12][13]:Corollary 20
Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.[13]
Kurva Bézier kuadratik adalah kurva c → → --> ( t ) {\displaystyle {\vec {c}}(t)} didefinisikan oleh tiga poin P 0 : p → → --> 0 {\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}} , P 1 : p → → --> 1 {\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}} dan P 2 : p → → --> 2 {\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}} , disebut titik kontrol:
Kurva ini adalah busur parabola (Lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola).
Dalam satu metode integrasi numerik salah satunya mengganti grafik fungsi dengan busur parabola dan mengintegrasikan busur parabola. Parabola ditentukan oleh tiga poin. Rumus untuk satu busur adalah.
Metode ini disebut aturan Simpson.
Jika suatu titik X terletak pada parabola dengan panjang fokus f, dan jika p adalah jarak tegak lurus dari X ke sumbu simetri parabola, maka panjang busur parabola yang berakhir pada X dapat dihitung dari f dan p sebagai berikut, dengan asumsi mereka semua dinyatakan dalam unit yang sama.[a]
Jumlah s ini adalah panjang busur antara X dan puncak parabola.
Panjang busur antara X dan titik berlawanan secara simetris di sisi lain parabola adalah 2s.
Jarak tegak lurus p dapat diberi tanda positif atau negatif untuk menunjukkan pada sisi mana sumbu simetri X berada. Membalik tanda p membalikkan tanda-tanda h dan s tanpa mengubah nilai absolut mereka. Jika jumlah-jumlah ini ditetapkan, panjang busur antara dua titik pada parabola selalu ditunjukkan oleh perbedaan antara nilai mereka dari s. Perhitungan dapat disederhanakan dengan menggunakan properti logaritma:
Ini dapat berguna, misalnya, dalam menghitung ukuran bahan yang dibutuhkan untuk membuat reflektor parabola atau palung parabola.
Perhitungan ini dapat digunakan untuk parabola dalam orientasi apa pun. Ini tidak terbatas pada situasi di mana sumbu simetri sejajar dengan sumbu y.
Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai f. Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah 2f, dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada sudut a 45° .[11]:p.26
Jika dua garis singgung pada sebuah parabola adalah saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.
Biarkan tiga garis singgung ke parabola saling tegak lurus. Kemudian Teorema Lambert menyatakavn bahwa fokus parabola terletak pada circumcircle of the triangle.[12][14]:Corollary 20
Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.[15]
Panjang fokus parabola adalah setengah dari jari-jari kelengkungan di puncaknya.
Pertimbangkan sebuah titik (x, y) pada lingkaran jari-jari R dan dengan pusat di titik (0, R). Lingkaran melewati titik asal. Jika titiknya dekat dengan asal, teorema Pythagoras menunjukkan itu:
Tapi jika (x, y) sangat dekat dengan titik asal, karena sumbu x adalah garis singgung ke lingkaran, y sangat kecil dibandingkan dengan x, jadi y2 diabaikan dibandingkan dengan ketentuan lainnya. Karena itu, sangat dekat dengan asalnya
Bandingkan ini dengan parabola
yang memiliki simpul pada titik awalnya, terbuka ke atas, dan memiliki panjang fokus f (lihat bagian sebelumnya dari artikel ini).
Persamaan (1) dan (2) adalah setara jika R = 2f. Oleh karena itu, ini adalah kondisi untuk lingkaran dan parabola bertepatan dan sangat dekat dengan asal. Jari-jari kelengkungan pada titik asal, yang merupakan puncak (Vertex) parabola, adalah dua kali panjang fokus.
Kuadrik berikut berisi parabola sebagai bagian bidang:
Parabola dapat digunakan sebagai trisectrix, yang memungkinkan pemotongan tepat dari sudut arbitari dengan penggaris-sejajar dan kompas. Ini tidak bertentangan dengan ketidakmungkinan pemotongan sudut dengan konstruksi kompas dan garis lurus saja, karena penggunaan parabola tidak diperbolehkan dalam aturan klasik untuk konstruksi kompas dan garis lurus.
Untuk trisect ∠ ∠ --> A O B {\displaystyle \angle AOB} , sebagai kakinya O B {\displaystyle OB} pada sumbu x sedemikian rupa sehingga vertex O {\displaystyle O} berasal dari sistem koordinat asal. Sistem koordinat juga mengandung parabola y = 2 x 2 {\displaystyle y=2x^{2}} . Unit lingkaran dengan jari-jari 1 di sekitar titik asal memotong kaki sudut lainnya O A {\displaystyle OA} , dan dari titik persimpangan ini tarik garis tegak lurus ke sumbu y. Paralel dengan sumbu y melalui titik tengah tegak lurus dan garis singgung pada satuan lingkaran di ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} berpotongan di C {\displaystyle C} . Lingkaran di sekitar C {\displaystyle C} dengan jari-jari O C {\displaystyle OC} memotong parabola di P 1 {\displaystyle P_{1}} . Yang tegak lurus dari P 1 {\displaystyle P_{1}} ke sumbu x memotong unit lingkaran di P 2 {\displaystyle P_{2}} , dan ∠ ∠ --> P 2 O B {\displaystyle \angle P_{2}OB} tepat sepertiga dari ∠ ∠ --> A O B {\displaystyle \angle AOB} .
Ketepatan konstruksi ini dapat dilihat dengan menunjukkan bahwa koordinat x P 1 {\displaystyle P_{1}} adalah cos --> ( α α --> ) {\displaystyle \cos(\alpha )} . Memecahkan sistem persamaan yang diberikan oleh lingkaran di sekitar C {\displaystyle C} dan parabola mengarah ke persamaan kubik 4 x 3 − − --> 3 x − − --> cos --> ( 3 α α --> ) = 0 {\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0} . Formula triple-sudut cos --> ( 3 α α --> ) = 4 cos --> ( α α --> ) 3 − − --> 3 cos --> ( α α --> ) {\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )} kemudian menunjukkan bahwa cos --> ( α α --> ) {\displaystyle \cos(\alpha )} adalah memang solusi dari persamaan kubik itu.
Pembagian atas tiga bagian ini (trisection) kembali ke René Descartes, yang menggambarkannya dalam bukunya La Géométrie (1637).[16]
<ref>
ET2
ET3
RajagukgukTugu Toga Aritonang di Dolok Martumbur, Muara, Tapanuli Utara, Sumatera Utara.Aksara Batakᯒᯐᯎᯂᯮ᯲ᯎᯂᯮ᯲ (Surat Batak Toba)Nama margaRajagukgukSilsilahJarakgenerasi denganSiraja Batak1Si Raja Batak2Guru Tatea Bulan3Tuan Saribu Raja4Si Raja Lontung5Toga Aritonang6RajagukgukNama anak1. Panungkol Langit2. Ompu Pingganpasu3. Ompu Sodak MumbalumbalKekerabatanInduk margaAritonangKerabatmargaOmpusungguSimaremareAritonangAsalSukuBatakEtnisBatak TobaDaerah asalAritonang, Muara, …
Bambang Rudi PratiknyoInformasi pribadiLahir26 September 1962 (umur 61)Pemalang, Jawa TengahAlma materAkademi Kepolisian (1985)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang Kepolisian Negara Republik IndonesiaMasa dinas1985—2020Pangkat Inspektur Jenderal PolisiSatuanReserseSunting kotak info • L • B Irjen. Pol. (Purn) Drs. Bambang Rudi Pratiknyo, S.H., M.M. (lahir 26 September 1962) adalah seorang Purnawirawan Polri yang sebelumnya menjabat sebagai Widyaiswara Kepolisi…
Indian theatre and film actor (1983–2021) Sanchari VijayVijay at 62nd National Film Awards ceremony in 2015BornVijay Kumar Basavarajaiah(1983-07-17)17 July 1983Panchanahalli, Chikmagalur, Karnataka, IndiaDied15 June 2021(2021-06-15) (aged 37)Bengaluru, Karnataka, IndiaAlma materB.M.S. Institute of Technology and Management, B.M.S. College of EngineeringOccupationActorYears active2007–2021Notable workNaanu Avanalla...Avalu Vijay Kumar Basavarajaiah (17 July 1983 – 15 June 202…
Neue Welt für die Frau Beschreibung Frauenzeitschrift Sprache Deutsch Verlag Funke Women Group (Deutschland) Hauptsitz Ismaning Erscheinungsweise wöchentlich Verkaufte Auflage 92.547 Exemplare (IVW 3/2023) Verbreitete Auflage 93.128 Exemplare (IVW 3/2023) Chefredakteurin Claudia Groß-Trybuhl[1] ISSN (Print) 0940-7162 Neue Welt für die Frau ist ein wöchentlich erscheinendes deutsches Frauenmagazin. Es erschien erstmals 1932 und ist das älteste deutsche Magazin der sogenannten Regenb…
Donald Ervin KnuthDonald Knuth at a reception for the Open Content Alliance, October 25, 2005Lahir10 Januari 1938 (umur 85)Milwaukee, Wisconsin, U.S.Tempat tinggalU.S.KebangsaanAmericanAlmamaterCase Institute of TechnologyCalifornia Institute of TechnologyDikenal atasThe Art of Computer ProgrammingTeX, METAFONTKnuth–Morris–Pratt algorithmKnuth–Bendix completion algorithmMMIXPenghargaanJohn von Neumann Medal (1995) Turing Award (1974) Kyoto Prize (1996)Karier ilmiahBidangComputer scien…
Voor het nationale herenbasketbalteam, zie Tsjecho-Slowaaks basketbalteam (vrouwen) Tsjechoslowaaks basketbalteam Land Tsjecho-Slowakije FIBA-zone FIBA Europe Olympische Spelen Deelnames 7 Medailles 0 Wereldkampioenschap Deelnames 4 Medailles 0 Eurobasket Deelnames 24 Medailles Goud: 1946 Zilver: 6x Brons: 5x Tenues Thuiskleuren Uitkleuren Portaal Basketbal Het Tsjechoslowaaks nationaal basketbalteam was een team van basketballers dat Tsjechoslowakije van…
JazzAlbum studio karya Margie SegersDirilis1981DirekamStudio Eterna JakartaGenreJazz, Pop,LabelGranada Record IndonesiaProduserGranada RecordKronologi Margie Segers Jazz (1981) Jazz Samba (album) (1983)Jazz Samba (album)1983 Jazz adalah nama dari sebuah judul album Margie Segers yang dirilis pada tahun 1981. Diedarkan oleh Granada Record. Daftar lagu Nol Tahun Judul Lagu Pencipta 1 1981 Kerinduan Anto 2 1981 Citra Sam Bimbo 3 1981 Semua Bisa Bilang Charles Hutagalung 4 1981 Tabah Selalu Iska…
瑪麗亞一世Maria I葡萄牙和阿尔加维女王統治1777年2月24日-1816年3月20日(39年25天)前任若澤一世繼任若昂六世共治君主佩德罗三世(1777年—1786年在位)巴西女王[1]統治1815年12月16日-1816年3月20日(95天)繼任若昂六世出生1734年12月17日 葡萄牙王國里斯本逝世1816年3月20日(1816歲—03—20)(81歲) 葡萄牙巴西聯合王國里約熱內盧配偶佩德罗三世子嗣巴西親王若澤葡萄牙國…
Dan Savage Dan Savage adalah seorang penulis dan aktivis LGBT amerika. Dia menulis kolom nasihat seks 'Savage love' Masa muda Dan Savage lahir di Chicago, Illinois. Dia dibesarkan sebagai Katolik, bagaimanapun dia sekarang adalah seorang agnostik.[1] Karier Pada tahun 1991 ia memulai savage love dan pada tahun 2006 ia memulai savage love podcast. Kehidupan pribadi Dia gay dan menikah dengan suaminya Terry Miller, mereka memiliki anak angkat. Referensi ^ Hinton, Stephen (2002). Sieben Tod…
Élie DotéPerdana Menteri Republik Afrika TengahMasa jabatan13 Juni 2005 – 22 Januari 2008PresidenFrançois BozizéPendahuluCélestin GaombaletPenggantiFaustin-Archange Touadéra Informasi pribadiLahir1947Bangui, Republik Afrika TengahPartai politikIndependenSunting kotak info • L • B Élie Doté (lahir 1947?) adalah Perdana Menteri Republik Afrika Tengah dari Juni 2005 hingga Januari 2008. Ia lahir di Bangui. Ia diangkat oleh Presiden François Bozizé pada 13 Juni 200…
George H. MallonMedal of Honor recipientBorn(1877-06-15)June 15, 1877Ogden, Kansas, USDiedAugust 2, 1934(1934-08-02) (aged 57)St. Cloud, Minnesota, USPlace of burialFort Snelling National Cemetery, Minneapolis, MinnesotaAllegianceUnited StatesService/branchUnited States ArmyYears of service1917–1919RankCaptainUnit132nd Infantry Regiment, 33rd Infantry DivisionBattles/warsWorld War IAwardsMedal of HonorPurple Heart George H. Mallon (June 15, 1877 – August 2, 1934) was an off…
Revivalist architectural style This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Indo-Saracenic architecture – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2018) (Learn how and when to remove this template message) Madras High Court buildings are a prime example of Indo-Saracenic architecture, designed b…
لمعانٍ أخرى، طالع روبرت دوسن (توضيح). هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يوليو 2019) روبرت دوسن معلومات شخصية الميلاد 4 ديسمبر 1963 (60 سنة) وندسور مواطنة كندا الطول 165 سنتيمتر الحياة العملية …
For other places called Headley, see Headley (disambiguation). Human settlement in EnglandHeadleyThe grotto at St Mary's Church, Headley, was constructed in the 19th century using materials from the demolished medieval church.Cricket is played in the village.HeadleyLocation within SurreyArea6.75 km2 (2.61 sq mi)Population643 (Civil Parish 2011)[1]• Density95/km2 (250/sq mi)OS grid referenceTQ205545Civil parishHeadley [2]DistrictMole Valle…
Cần ThơCentrally-governed city LambangMotto: Caritas – Gaudium – PaxLetak Cần ThơNegara VietnamLuas • Total1.389,6 km2 (5,365 sq mi)Populasi (2004) • Total1.121.000 • Kepadatan807/km2 (2,090/sq mi)Situs webhttp://www.cantho.gov.vn Cần Thơ adalah sebuah kota di sebelah barat daya Vietnam. Kota ini merupakan kota terbesar di kawasan Delta Sungai Mekong, 169 kilometer barat kota Ho Chi Minh, Vietnam. Penduduknya ber…
American physician and Seventh-day Adventist Archibald W. TrumanBorn13 March 1884Mulvane, KansasDied20 April 1977Loma Linda, CaliforniaOccupationPhysician Archibald William Truman (13 March 1884 – 20 April 1977) was an American physician, Seventh-day Adventist and vegetarianism activist. Truman was born in Mulvane, Kansas, he had 11 siblings.[1] Truman was educated at Keene Industrial Academy and Battle Creek College, 1900–1904. He graduated in medicine at the University of Colorado …
American filmmaker SJ Main MuñozBornSummer Joy Main (Muñoz)San Luis Obispo, CaliforniaAlma materEuropean Graduate School (PhD)Columbia University School of the Arts (MFA)University of California, Los Angeles (BA)Occupations Film director Screenwriter Producer Years active2000–presentSpouse Derek Classen (m. 2011)Children2 Summer-Joy SJ Main Muñoz is an American filmmaker primarily known for directing television and award-winning short films[1]…
For the state pageant affiliated with Miss USA, see Miss Tennessee USA. Beauty pageant competition Miss TennesseeFormation1922TypeScholarship competitionMembership Miss AmericaOfficial language EnglishWebsiteOfficial website The Miss Tennessee competition is the pageant that selects the representative for the state of Tennessee in the Miss America Scholarship Competition. Lauren Dickson of Parsons was crowned Miss Tennessee 2022 on June 25, 2022 at the Cannon Center for the Performing Arts in Me…
Organic fluid which transports nutrients throughout the organism For other uses, see Blood (disambiguation). BloodVenous (darker) and arterial (brighter) bloodIdentifiersMeSHD001769TA98A12.0.00.009TA23892FMA9670Anatomical terminology[edit on Wikidata] Blood is a body fluid in the circulatory system of humans and other vertebrates that delivers necessary substances such as nutrients and oxygen to the cells, and transports metabolic waste products away from those same cells.[1] Blood i…
Polish international express train WawelPKP class SU46 with EuroCity Wawel ready to depart for Berlin after change of locomotives at Węgliniec in Poland (May 2012)OverviewService typeInterCity (IC)(1995–2006)EuroCity (EC)(2006-2014, since 2020)StatusActiveLocalePolandGermanyFirst service1995 (1995)Former operator(s)DB Fernverkehr, PKP IntercityRouteTerminiPrzemyśl Główny/Kraków Główny /Wrocław GłównyBerlin /Hamburg-AltonaService frequencyDailyTrain number(s)IC 48/49(1995–1998)…
Lokasi Pengunjung: 3.128.199.105