Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Monad (teori kategori)

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monad (juga disebut tripel, triad, konstruksi standar dan konstruksi dasar)[1] adalah endofunktor (funktor memetakan kategori), dengan dua transformasi alam yang dibutuhkan untuk memenuhi kondisi koherensi. Monad digunakan dalam teori funktor adjoin, dan mereka menggeneralisasi operator penutupan pada himpunan terurut parsial ke kategori arbitrer.

Pendahuluan dan definisi

Monad adalah jenis endofunktor tertentu. Misalnya, jika dan adalah sepasang funktor adjoin, dengan di sebelah kiri adjoint ke , maka komposisi adalah monad. Jika dan adalah fungsi invers, monad terkait adalah identitas funktor. Secara umum, tambahan bukanlah kesetaraan, mereka menghubungkan kategori dengan sifat yang berbeda. Teori monad penting sebagai bagian dari upaya untuk 'mencari' tambahan. Separuh teori lainnya, dari dipelajari juga dari pertimbangan , dibahas di bawah teori ganda komonad .

Definisi formal

Sepanjang artikel ini menunjukkan sebuah kategori. Sebuah monad di terdiri dari endofunktor bersama dengan dua transformasi alami: (dimana menunjukkan fungsi identitas pada ) dan (dimana adalah funktor dari ke ). Ini diperlukan untuk memenuhi ketentuan berikut (terkadang disebut kondisi koherensi):

  • (sebagai transformasi );
  • (sebagai transformasi ; maka menunjukkan transformasi identitas dari menjadi ).

Kita dapat menulis ulang kondisi ini menggunakan diagram komutatif berikut:

            

Lihat artikel tentang transformasi natural untuk penjelasan tentang notasi dan , atau lihat di bawah diagram komutatif yang tidak menggunakan pengertian ini:

            

Aksioma pertama mirip dengan asosiativitas dalam monoid jika sebagai operasi biner monoid, dan aksioma kedua mirip dengan keberadaan elemen identitas (diberikan ). Monad pada dapat didefinisikan sebagai alternatif sebagai monoid dalam kategori yang objeknya merupakan endofunktor dari dan yang morfismenya merupakan transformasi, dengan struktur monoid yang disebabkan oleh komposisi endofungtor.

Himpunan daya monad

Himpunan daya monad adalah monad pada kategori : Untuk himpunan biarkan menjadi himpunan daya dari dan untuk sebuah fungsi biarkan menjadi fungsi antara set daya yang diinduksi dengan galeri langsung di bawah . Untuk setiap set , peta , pada tunggal . The function

mengambil satu set himpunan ke satuan. Data ini menggambarkan sebuah monad.

Keterangan

Aksioma sebuah monad secara formal mirip dengan aksioma monoid. Faktanya, monad adalah kasus khusus dari monoid, yaitu mereka merupakan monoid di antara endofunktor , yang dilengkapi dengan perkalian yang diberikan oleh komposisi endofungtor.

Komposisi monad secara umum bukan monad. Misalnya, monad himpunan daya ganda tidak menerima struktur monad.[2]

Sejarah terminologis

Gagasan monad ditemukan oleh Roger Godement pada tahun 1958 dengan nama "konstruksi standar". Pada 1960-an dan 1970-an, banyak orang menggunakan nama "tiga kali lipat". Istilah standar sekarang "monad" adalah karena Saunders Mac Lane.

Contoh

Monad arising dari tambahan

Semua adjunsi

menimbulkan monad pada C . Konstruksi yang sangat luas ini bekerja sebagai berikut: ujung ujung adalah komposit

Fungsi akhir ini dengan cepat dianggap sebagai monad, di mana peta satuan berasal dari peta satuan dari adjunsi, dan peta perkalian dibangun menggunakan peta mounit dari adjunsi:

Dualisasi ganda

Dualisasi monad , untuk bidang k tetap muncul dari adjunsi

di mana kedua fungsi diberikan dengan mengirimkan ruang vektor V ke ruang vektor ganda . Monad terkait mengirimkan ruang vektor V ke dual ganda . Monad ini dibahas secara umum oleh (Kock 1970).

Operator penutupan himpunan urutan sebagian

Untuk kategori yang timbul dari himpunan terurut parsial (dengan morfisme tunggal dari to iff ), maka formalismenya menjadi lebih sederhana: bagian adjoin adalah koneksi Galois dan monad adalah operator penutupan.

Adjunsi foget bebas

Misalnya, karena menjadi funktor fogetful dari kategori Grp dari grup ke kategori Himpunan, dan maka menjadi fungsi grup bebas dari kategori himpunan ke kategori grup. Kemudian adalah ujung kiri dari . Dalam hal ini, monad terkait maka himpunan dan himpunan yang mendasari dari grup bebas . Peta satuan monad ini diberikan oleh peta

termasuk set apapun ke dalam himpunan dengan cara alami, sebagai pita panjang 1. Selanjutnya, perkalian dari monad ini adalah peta

terbuat dari rangkaian atau 'perataan' alami dari 'pita'. Maka berarti dua transformasi natural. Contoh sebelumnya tentang grup bebas dapat digeneralisasikan ke semua jenis aljabar dalam arti Varietas aljabar dalam aljabar universal. Jadi, setiap jenis aljabar menimbulkan monad pada kategori himpunan. Yang penting, jenis aljabar dapat dipulihkan dari monad (sebagai kategori aljabar Eilenberg–Moore), jadi monad juga dapat dilihat sebagai varietas umum dari aljabar universal.

Monad lain yang muncul dari sebuah adjunsi adalah saat adalah ujung fungsi pada kategori ruang vektor yang memetakan ruang vektor ke aljabar tensor , dan yang memetakan peta linier ke produk tensornya. Kami kemudian memiliki transformasi alami yang sesuai dengan penyematan ke dalam aljabar tensor, dan transformasi alami yang sesuai dengan peta dari untuk diperoleh hanya dengan memperluas semua produk tensor.

Monad kondensi

Di bawah kondisi ringan, funktor yang tidak menggunakan adjoin kiri juga menghasilkan monad, yang disebut monad kondensi. Misalnya, inklusi

tidak menerima adjoint kiri. Codensity monadnya adalah monad pada set yang mengirimkan set X ke set ultrafilter pada X . Maka, contoh serupa dibahas oleh (Leinster 2013).

Aljabar untuk monad

Dirumuskan monad pada kategori , wajar untuk mempertimbangkan aljabar- , yaitu, objek C yang dilanjutkan dari T ke cara yang kompatibel dengan satuan dan perkalian monad. Lebih formal, aljabar- T pada adalah objek dari dengan panah of disebut peta struktur dari aljabar seperti diagram

dan

Morfisme dari aljabar- adalah panah dari dari diagram

T membentuk kategori yang disebut kategori Eilenberg–Moore dan dilambangkan dengan . Misalnya, untuk grup bebas monad yang didiskusikan di atas, aljabar- T adalah himpunan X bersama dengan peta dari grup bebas yang dihasilkan oleh X menuju X dengan subjek asosiatif dan satuan. Struktur seperti itu setara dengan mengatakan bahwa X adalah kelompok itu sendiri.

Contoh lain adalah distribusi monad pada kategori himpunan. Hal tersebut ditentukan dengan urutan satu himpunan X ke himpunan fungsi dengan dukungan terbatas dan sehingga . Dengan memeriksa definisi, dapat ditunjukkan bahwa aljabar di atas monad distribusi setara dengan himpunan konveks, yaitu, himpunan dengan operasi pada tunduk pada aksioma yang menyerupai perilaku kombinasi linear cembung dalam ruang Euklides.[3]

Penggunaan

Monad digunakan dalam pemrograman fungsional untuk mengekspresikan jenis komputasi sekuensial (terkadang dengan efek samping). Lihat monad dalam pemrograman fungsional, dan modul Wikibuku yang lebih berorientasi matematis Teori Haskell/Kategori.

Dalam logika kategoris, sebuah analogi telah ditarik antara teori monad-komonad, dan logika modal melalui operator penutupan, aljabar interior, dan hubungannya dengan model dari S4 dan logika intuisi.

Generalisasi

Dimungkinkan untuk mendefinisikan monad dalam Kategori-2 . Monad yang dijelaskan di atas adalah monad untuk .

Lihat pula

Referensi

  1. ^ Barr, Michael; Wells, Charles (1985), "Toposes, Triples and Theories" (PDF), Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 278, hlm. 82 and 120, ISBN 0-387-96115-1. 
  2. ^ Klin; Salamanca, Iterated Covariant Powerset is not a Monad, doi:10.1016/j.entcs.2018.11.013alt=Dapat diakses gratis 
  3. ^ Świrszcz, T. (1974), "Monadic functors and convexity", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 22: 39–42, MR 0390019 , Jacobs, Bart (2010), "Convexity, Duality and Effects", Theoretical Computer Science, IFIP Advances in Information and Communication Technology, 323, hlm. 1–19, doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1alt=Dapat diakses gratis, ISBN 978-3-642-15239-9 

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar

Baca informasi lainnya:

English noble (1558–1605) George CliffordKGEarl of CumberlandGeorge Clifford, 3rd Earl of Cumberland, after Nicholas HilliardTenureJanuary 1570 – 30 October 1605PredecessorHenry Clifford, 2nd Earl of CumberlandSuccessorFrancis Clifford, 4th Earl of CumberlandOther titles13th Baron de Clifford13th Lord of SkiptonBorn8 August 1558Brougham Castle, Westmorland, England.Died30 October 1605(1605-10-30) (aged 47)Liberty of the Savoy, London, England.NationalityEnglishResidenceAppleby CastleBro…

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مارس 2019) اولام (بالانجليزية: اولاف) وتعني الكلمة في الادب الايرلندي المبكر، العضو الاعلى مرتبة من الشعراء واستخدم أيضا هذا المصطلح للدلالة على العضو الاعلى مرتبة في أي

Remington MSR Senapan Remington MSR Jenis Senapan runduk Negara asal Amerika Serikat Sejarah pemakaian Masa penggunaan 2013–sekarang Digunakan oleh See Users Pada perang Global War On Terror Sejarah produksi Produsen Remington Arms Biaya produksi $15,000[2] Diproduksi 2009–present[1] Jumlah produksi 5.150 unit (direncanakan) Spesifikasi (22 barrel) Berat 13 pon (5,9 kg) (base rifle)[1] 17 pon (7,7 kg) (complete)[1&…

Wappen Deutschlandkarte 49.04710.8651427Koordinaten: 49° 3′ N, 10° 52′ O Basisdaten Bundesland: Bayern Regierungsbezirk: Mittelfranken Landkreis: Weißenburg-Gunzenhausen Verwaltungs­gemeinschaft: Altmühltal Höhe: 427 m ü. NHN Fläche: 20,45 km2 Einwohner: 975 (31. Dez. 2022)[1] Bevölkerungsdichte: 48 Einwohner je km2 Postleitzahl: 91793 Vorwahl: 09146 Kfz-Kennzeichen: WUG, GUN Gemeindeschlüssel: 09 5 77 …

Заголовок цієї статті — японське ім'я. Воно складається з прізвища та особового імені, яке слідує за ним: іменем цієї особи є Дзюнкі, а прізвищем — Хіґасі. Дзюнкі Хіґасі Особисті дані Народження 28 липня 2000(2000-07-28) (23 роки)   Ехіме, Японія Зріст 180 см Вага 69 кг Громадянство  …

British architect (born 1965) Susannah Churchill DrakeEducationDartmouth CollegeHarvard Graduate School of DesignOccupation(s)Landscape Architect and Architect Susannah Drake (born 1965) is a practicing architect and landscape architect who specializes in addressing contemporary social and environmental issues through design. Background and education Drake was born in Cambridge, England in 1965, and holds dual citizenship for the United States and the United Kingdom. Drake earned a Bachelor of A…

Studies of the nature of technology The philosophy of technology is a sub-field of philosophy that studies the nature of technology and its social effects. Philosophical discussion of questions relating to technology (or its Greek ancestor techne) dates back to the very dawn of Western philosophy.[1] The phrase philosophy of technology was first used in the late 19th century by German-born philosopher and geographer Ernst Kapp, who published a book titled Elements of a Philosophy of Tech…

Constitution of LithuaniaOverviewOriginal title(in Lithuanian) Lietuvos Respublikos KonstitucijaJurisdictionRepublic of LithuaniaDate effective25 October 1992; 31 years ago (1992-10-25)SystemUnitary semi-presidential republicGovernment structureBranchesThree (executive, legislature and judiciary)Head of statePresident of LithuaniaChambersSeimasExecutiveCabinet of ministers led by the Prime MinisterJudiciaryConstitutional Court, Supreme Court, the Court of Appeal, district …

Cerkiew św. Aleksandra NewskiegoVilniaus Šv. Aleksandro Neviškio cerkvė cerkiew monasterska i parafialna Widok ogólny Państwo  Litwa Miejscowość Wilno Wyznanie prawosławne Kościół Rosyjski Kościół Prawosławny Parafia św. Aleksandra Newskiego Wezwanie św. Aleksandra Newskiego Wspomnienie liturgiczne 30 sierpnia/12 września Historia Data rozpoczęcia budowy 1896 Data zakończenia budowy 1898 Data poświęcenia 28 października 1898 Data zamknięcia 12 czerwca 1959 Aktualne …

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2016. Tujuh Tradisi Komunikasi merupakan dasar-dasar dari teori-teori komunikasi yang memiliki kesamaan, sehingga dikelompokan menjadi tujuh tradisi komunikasi. Tradisi ini ditemukan oleh Robert T. Craig. Craig berpendapat bahwa ilmu komunikasi tidak dapat disa…

Airport in Afghanistan Ahmad Shah Baba International AirportPashto: د کندهار نړيوال هوايي ډګرPhotos captured during NATO's occupationIATA: KDHICAO: OAKNSummaryAirport typePublicOwnerGovernment of AfghanistanOperatorGAAC Holding[1]ServesSouthern AfghanistanLocationDaman District, Kandahar Province, AfghanistanBuilt1962[2]Elevation AMSL3,338 ft / 1,017 mCoordinates31°30′21″N 065°50′52″E / 31.50583°N 65.84778°E …

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Março de 2019)  Nota: A+ redireciona para este artigo. Para outros significados, veja A+ (linguagem de programação). Distribuição dos principais tipos sanguíneos na população mundial.[1] Os grupos sanguíneos ou tipos sanguí…

Witches' Market The Witches' Market, also known as El Mercado de las Brujas and La Hechiceria, is a popular tourist attraction located in Cerro Cumbre, a mountain clearing in La Paz, Bolivia.[1] The market is run by local witch doctors known as yatiri, who sell potions, dried frogs, medicinal plants like retama, and armadillos used in Bolivian rituals.[2] The yatiri can be easily identified by their black hats and coca pouches containing amulets, talismans and powders that promis…

Book of Proverbs, chapter 7 Proverbs 7← chapter 6chapter 8 →The whole Book of Proverbs in the Leningrad Codex (1008 C.E.) from an old fascimile edition.BookBook of ProverbsCategoryKetuvimChristian Bible partOld TestamentOrder in the Christian part21 Proverbs 7 is the seventh chapter of the Book of Proverbs in the Hebrew Bible or the Old Testament of the Christian Bible.[1][2] The book is a compilation of several wisdom literature collections; the heading in 1:1 may …

Romanian politician Alexandru G. GolescuPrime Minister of RomaniaIn office2 February 1870 – 18 April 1870MonarchCarol IPreceded byDimitrie GhicaSucceeded byManolache Costache Epureanu Personal detailsBorn1819 (1819)Bucharest, WallachiaDied15 August 1881 (aged 61–62)Rusănești, Olt County, Kingdom of RomaniaAlma materÉcole d'Arts et Métiers Alexandru G. Golescu (1819 – 15 August 1881) was a Romanian politician who served as a Prime Minister of Romania in 1870. …

American temperance activist (1816–1905) For the Irish transportee to Australia also known as Eliza Thompson, see Elizabeth Callaghan. Eliza Jane ThompsonBornEliza Jane Trimble(1816-08-24)August 24, 1816Hillsboro, OhioDiedNovember 3, 1905(1905-11-03) (aged 89)Hillsboro, OhioKnown forTemperance movement Eliza Jane Trimble Thompson (1816–1905) was a temperance advocate. Biography Eliza Jane Trimble was born in Hillsboro, Ohio, August 24, 1816. The daughter of Governor Allen Trimble, …

Overview of Scientology in Norway This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Scientology in Norway – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2016) (Learn how and when to remove this template message) Church of Scientology NorwayScientologi Kirken NorgenThe former site of Scientologikirken in G…

Indonesian television network This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: ANTV – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2022) (Learn how a…

For the Romanian village of Dărvaș, see Bujoreni, Teleorman. Place in Hajdú-Bihar, HungaryDarvasCountry HungaryCountyHajdú-BiharArea • Total42.31 km2 (16.34 sq mi)Population (2001) • Total677 • Density16/km2 (40/sq mi)Time zoneUTC+1 (CET) • Summer (DST)UTC+2 (CEST)Postal code4144Area code54 Location of Hajdú-Bihar county in Hungary Darvas (Romanian: Darvaș) is a village in Hajdú-Bihar county, in the Northern Gre…

Television series Tumhare Husn Ke NaamGenreDramaRomanceInspired byAkhtar aur Salma by Hakeem Nayyar WastyWritten bySara QayyumUmera AhmadDirected bySaqib KhanStarringSaba QamarImran AbbasSidra NiaziTheme music composerSaad SultanCountry of originPakistanOriginal languageUrduNo. of episodes19ProductionExecutive producerImran RazaProducerMisbah ShafiqueProduction locationsKarachiLahoreEditorBelal Ghouri & Shehbaz Ali BalochRunning time35-40 minsProduction companiesIRK Films and Multiverse Ente…

Kembali kehalaman sebelumnya

Lokasi Pengunjung: 18.209.66.87