Dalam geometri, model hiperboloid, juga dikenal sebagai model Minkowski, dinamai Hermann Minkowski adalah sebuah model pada geometri hiperbolik dimensi- n {\displaystyle n} yang dimana titik-titik tersebut diwakili oleh titik-titik dari lembaran depan S + {\displaystyle S^{+}} dari dua lembaran hiperboloid dalam ruang Minkowski ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensi dan m {\displaystyle m} bidang diwakili oleh titik potong dari bidang- ( m + 1 ) {\displaystyle (m+1)} dalam ruang Minkowski dengan S + {\displaystyle S^{+}} . Fungsi jarak hiperbolik memasukkan sebuah ekspresi yang sederhana dalam model ini. Model hiperboloid dari ruang hiperbolik
n {\displaystyle n} -dimensi terkati erat dengan model Beltrami-Klein dan untuk model cakram Poincaré sebagai mereka adalah model projektif dalam arti bahwa grup isometri adalah sebuah subgrup dari grup projektif.
Jika ( x 0 , x 1 , … … --> , x n ) {\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})} adalah sebuah vektor dalam ruang koordinasi ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensi R n + 1 {\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}} , bentuk kuadrat Minkowski didefinisikan menjadi
Vektor v ∈ ∈ --> R n + 1 {\displaystyle v\in \mathbf {R} ^{n+1}} seperti Q ( v ) = 1 {\displaystyle Q(v)=1} membenetuk sebuah hiperboloid n {\displaystyle n} -dimensi S {\displaystyle S} terdiri dari dua komponen yang terhubung, atau lembaranː depan, lembaran S + {\displaystyle S^{+}} , dimana x 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} dan belakang, lembaran S − − --> {\displaystyle S^{-}} , dimana x 0 < 0 {\displaystyle x_{0}<0} . Titik-titik dari model hiperboloid n {\displaystyle n} -dimensi adalah titik-titik dari lembaran depan S + {\displaystyle S^{+}} .
Bentuk bilinear Minkowski B {\displaystyle B} merupakan polarisasi dari bentuk kuadrat Minkowski Q {\displaystyle Q} .
Secara eksplisit,
Jarak hiperbolik antara dua titik u {\displaystyle u} dan v {\displaystyle v} dari S + {\displaystyle S^{+}} diberikan oleh rumus
dimana arcoshadalah fungsi invers dari hiperbolik cosinus.
Sebuah garis lurus dalam ruang ke- n {\displaystyle n} hiperbolik dimodelkan oleh sebuah geodesik pada hiperboloid. Sebuh geodesik pada hiperbolik (tidak kosong) titik potong pada hiperboloid dengan sebuah subruang linear dua dimensi (termasuk asal) dari ruang Minkowski ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensi. Jika kita ambil u {\displaystyle \mathbf {u} } dan v {\displaystyle \mathbf {v} } menjadi vektor basis dari subruang linear itu dengan
dan gunakan w {\displaystyle w} sebagai sebuah parameter real untuk titik-titik pada geodesik, kemudian
akan menjadi titik pada geodesik.[1]
Lebih umum, sebuah "datar k {\displaystyle k} -dimensi dalam ruang ke- n {\displaystyle n} hiperbolik akan dimodel oleh (tidak kosong) titik potong dari hiperboloid dengan subruang linear ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} -dimensi (termasuk asal) dari ruang Minkowski.
Grup ortogonal tak terdefinisi O ( 1 , n ) {\displaystyle {\text{O}}(1,n)} , juga disebut grup Lorentz ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensi, merupakan grup Lie dari matriks real ( n + 1 ) × × --> ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} yang mempertahankan bentuk bilinear Minkowski. Dalam sebuah bahasa yang berbeda, ini merupakan grup dari isometris linear dari ruang Minkowski. Secara khusus, grup ini mempertahankan hiperboloid S {\displaystyle S} . Ingat bahwa grup ortogonal tak terdefinisi memiliki empat komponen yang terhubung, berkorespodensi untuk membalikan atau mempertahankan orientasi pada setiap subruang (disini 1 dimensi dan n {\displaystyle n} -dimensi), dan membentuk empat grup Klein. Subgrup dari O ( 1 , n ) {\displaystyle {\text{O}}(1,n)} yang mempertahankan tanda dari koordinat pertama merupakan grup Lorentz ortokron, dilambangkan O + ( 1 , n ) {\displaystyle {\text{O}}^{+}(1,n)} , dan memiliki dua komponen, berhubungan untuk mempertahankan atau membalikkan orientasi dari subruang spasial. Subgrup SO + ( 1 , n ) {\displaystyle {\text{SO}}^{+}(1,n)} -nya terdiri dari matriks dengan determinannya penghubung grup Lie dari dimensi n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} yang bertindak pada S + {\displaystyle S^{+}} oleh automorfism linear dan mempertahankan jarak hiperbolik. Aksi ini transitif dan stabilisator dari vektor ( 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (1,0,\dots ,0)} terdiri dari matriks dari bentuk
Dimana A {\displaystyle A} milik kompak grup ortogonal spesial SO ( n ) {\displaystyle {\text{SO}}(n)} (menggeneralisasikan grup rotasi SO(3) untuk n = 3 {\displaystyle n=3} ). Dengan demikian ruang hiperbolik n {\displaystyle n} -dimensi bisa diperlihatkan sebagai ruang homogen dan sebuah ruang simetris Riemannian dari peringkat 1,
Grup SO + ( 1 , n ) {\displaystyle {\text{SO}}^{+}(1,n)} merupakan grup penuh dari orientasi-mempertahankan isometris dari ruang hiperbolik n {\displaystyle n} -dimensi.
Dalam istilah yang lebih konkret, S O + ( 1 , n ) {\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,n)} bisa dipisahkan menjadi rotasi n ( n − − --> 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} (dibentuk dengan sebuah matriks rotasi Euklidean biasa dalam blok kanan bagian bawah) dan sebuah translasi hiperbolik n {\displaystyle n} , yang mengambil bentuk
dimana α α --> {\displaystyle \alpha } merupakan jarak yang ditranslasikan (sepanjang sumbu x {\displaystyle x} dalam kasus ini), dan baris/kolom kedua bisa ditukarkan dengan pasangan yang berbeda untuk mengubah sebuah translasi sepanjang sebuah sumbu yang berbeda. Bentuk umum dari sebuah translasi dalam 3 dimensi sepanjang vektor ( w , x , y , z ) {\displaystyle (w,x,y,z)} adalahː
( w x y z x x 2 w + 1 + 1 y x w + 1 z x w + 1 y x y w + 1 y 2 w + 1 + 1 z y w + 1 z x z w + 1 y z w + 1 z 2 w + 1 + 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\x&{\frac {x^{2}}{w+1}}+1&{\frac {yx}{w+1}}&{\frac {zx}{w+1}}\\y&{\frac {xy}{w+1}}&{\frac {y^{2}}{w+1}}+1&{\frac {zy}{w+1}}\\z&{\frac {xz}{w+1}}&{\frac {yz}{w+1}}&{\frac {z^{2}}{w+1}}+1\\\end{pmatrix}}}
dimana w = x 2 + y 2 + z 2 + 1 {\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}} .
Ini meluas secara alami untuk dimensi yang lebih, dan juga versi yang disederhanakan dari dorongan Lorentz ketika kalian menghilangkan istilah spesifik-relativitas.
Jika A {\displaystyle A} adalah anggota dari O(n), maka matriks blok berikut
mewakili sebuah isometri yang menentukan titik ( 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (1,0,\dots ,0)} . Semua rotasi dan refleksi konjugasi ke salah satu dari isometri-isometri ini. Pemetaan dari A {\displaystyle A} ke matriks merupakan grup homomorfism dari O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} ke O + ( 1 , n ) {\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(1,n)} .
Untuk setiap bilangan real t {\displaystyle t} , terdapat sebuah translasi
Translasi ini menggeser sumbu- x {\displaystyle x} sebuah jarak dari t {\displaystyle t} dalam arah x {\displaystyle x} positif jika t ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle t\geq 0} atau sebuah jarak dari t {\displaystyle t} dalam arah x {\displaystyle x} negatif jika t ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle t\leq 0} . Translasi apapun dari jarak t {\displaystyle t} konjugasi ke L t {\displaystyle L_{t}} dan L − − --> t {\displaystyle L_{-t}} .
O + ( 1 , n ) {\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(1,n)} bisa dihasilkan oleh himpunan { L t : t ∈ ∈ --> R } ∪ ∪ --> { ( 1 0 0 A ) : A ∈ ∈ --> O ( n ) } {\displaystyle \{L_{t}:t\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}} .
Misalkan H {\displaystyle H} menjadi horosphere seperti yang titik-titik dari bentuk ( w , x , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)} ada di dalam darinya untuk x {\displaystyle x} besar secara sembarang. Untuk setiap vektor b {\displaystyle b} dalam R n − − --> 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}} .
adalah hororotasi yang memetakan H {\displaystyle H} ke diri sendiri. Setiap hororotasi konjugasi untuk seperti sebuah isometri. Untuk setiap A {\displaystyle A} dalam O ( n − − --> 1 ) {\displaystyle \mathrm {O} (n-1)} .
adalah rotasi atau refleksi yang mempertahankan H {\displaystyle H} dan sebuah titik di atasnya (Titik potong H {\displaystyle H} dengan sumbu- x {\displaystyle x} ). Hororotasi-hororotasi ini, rotasi-rotasi, dan refleksi-refleksi menghasilkan grup dari kesimetrian dari H {\displaystyle H} . Grup ini isomorfik dengan grup Euklidean E ( n − − --> 1 ) {\displaystyle \mathrm {E} (n-1)} .
Untuk dua titik p , q ∈ ∈ --> H n , p ≠ ≠ --> q {\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} } , terdapat sebuah refleksi unik menukarkan mereka.
Misalkan u = p − − --> q − − --> Q ( p − − --> q ) {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {-Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}} . Catatan bahwa Q ( u ) = − − --> 1 {\displaystyle Q(\mathbf {u} )=-1} , dan demikian juga u ∉ ∉ --> H n {\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}} .
Kemudian
adalah sebuah refleksi yang menukarkan p {\displaystyle \mathbf {p} } dan q {\displaystyle \mathbf {q} } . Ini ekuivalen dengan matriks berikut.
Menggunakan metode ini untuk mencari refleksi-refleksi, salah satunya bisa mencari grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan sebuah titik yang diberikan. Misalkan p ∈ ∈ --> H n {\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {H} ^{n}} . Jika p = ( 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} =(1,0,\dots ,0)} , lihat bagian atas. Jika tidak, misalkan R {\displaystyle R} menjadi refleksi yang menukaran p {\displaystyle \mathbf {p} } dan ( 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (1,0,\dots ,0)} .Kemudian
adalah grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan p {\displaystyle \mathbf {p} } . Ini adalah sebuah contoh dari subgrup konjugasi.
Salah satunya bisa juga menggunakan refleksi-refleksi untuk mencari translasi-translasi melalui sebuah garis diberikan dua titik pada garis. Misalkan p , q ∈ ∈ --> H n , p ≠ ≠ --> q {\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} } . Kmeudian misalkan R 1 {\displaystyle R_{1}} menjadi refleksi menukarkan p {\displaystyle \mathbf {p} } dan ( 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (1,0,\dots ,0)} (atau I {\displaystyle I} jika mereka sama). Misalkan R 2 {\displaystyle R_{2}} menjadi refleksi menukarkan q {\displaystyle \mathbf {q} } dan R 1 L d ( p , q ) [ 1 , 0 , … … --> , 0 ] T {\displaystyle R_{1}L_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }} . Misalkan X {\displaystyle X} menjadi sama dengan R 2 R 1 {\displaystyle R_{2}R_{1}} . X {\displaystyle X} adalah sebuah isometri yang memetakan asal ke p {\displaystyle \mathbf {p} } dan L d ( p , q ) [ 1 , 0 , … … --> , 0 ] T {\displaystyle L_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }} ke q {\displaystyle \mathbf {q} } . Sekarang, untuk setiap bilangan real t {\displaystyle t} , X L t X − − --> 1 {\displaystyle XL_{t}X^{-1}} adalah sebuah translasi dari jarak | t | {\displaystyle \left|t\right|} sepanjang garis melalui p {\displaystyle \mathbf {p} } dan q {\displaystyle \mathbf {q} } . Jika t {\displaystyle t} positif, translasinya garis dalam arah p q → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}} . Jika t {\displaystyle t} negatif, translasinya garis dalam arah q p → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}} . Secara khusus, X L t X − − --> 1 {\displaystyle XL_{t}X^{-1}} mentranslasikan p {\displaystyle \mathbf {p} } ke q {\displaystyle \mathbf {q} } .
Hiperboloid dieksplorasi sebagai sebuah ruang metrik oleh Alexander Macfarlane dalam makalahnya Papers in Space Analysis (1894). Dia mencatat bahwa titik-titik pada hiperboloid bisa ditulis sebagai
dimana α α --> {\displaystyle \alpha } adalah ortogonal vektor basis ke sumbu hiperboloid. Sebagai contoh, dia memperoleh hukum hiperbolik dari cosinus melalui penggunaan dari Aljabar dari Fisikanya.[1]
H. Jansen membuat model hiperboloid sebagai fokus eksplisit dari makalahnya "Perwakilan dari geometri hiperboloid pada dua lembar hiperboloid" tahun 1909.[11] Dalam 1993 W.F. Reynolds menceritakan beberapa dari sejarah sebelumnya dari model dalam makalahnya dalam American Mathematical Monthly.[12]
Menjadi model biasa oleh abad keduabelas, ini diidentifikasikan dengan Geschwindigkeitsvectoren (vektor kecepatan) oleh Hermann Minkowski dalam kuliah Göttingen 'The Relataivity Principle' tahun 1907. Scott Walter, dalam makalah "The Non-Eucliean Style of Minkowskian Relativity"[13] mengingat kesadaran Minkowski, tetapi menelusuri garis keturunan dari model ke Hermann Helmholtz daripada Weierstrass dan Killing.
Dalam tahun-tahun sebelumnya dari relativitas, model hiperboloid digunakan oleh Vladimir Varićak untuk menjelaskan fisika tentang kecepatan. Dalam pidatonya ke persatuan matematika Jerman dalam 1912, dia merujuk koordinat Weierstrass.[14]
|url-status=
Lokasi Pengunjung: 3.15.141.61